Esercitazione 3

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 3 03/03/2022 Argomenti: risoluzione di sistemi lineari (con e senza parametri). Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare    2x + 4y + 4z = 4, x = 1 +z, −x + 3y = 2 − 4z. 1. Determinare una matriceA ∈ M R(3, 3) e un vettoreb ∈ R3 tali che, dettox il vettore delle incognite, si abbia Ax = b. 2. Determinare il numero di soluzioni del sistema. 3. Determinare le soluzioni del sistema, se esistono. Soluzione. Da un’ispezione diretta del sistema determiniamo che il sistema può essere equivalentemente riscritto come   2 4 4 1 0 −1 −1 3 4     x y z   =   4 1 2  . Applichiamo il MEG alla matrice completa A|b =   2 4 4 4 1 0 −1 1 −1 3 4 2  . La riduzione a scala può essere ottenuta con i seguenti passi:   1 0 −1 1 2 4 4 4 −1 3 4 2   r2 ↔ r1,   1 0 −1 1 0 4 6 2 0 3 3 3   r2 ← r2 − 2r1, r3 ← r3 + r1,   1 0 −1 1 0 4 6 2 0 0 − 6 4 6 4   r3 ← r3 − 3 4 r2. Dunque,r(A|b) = r(A) = 3. Dal teorema di Rouché-Capelli, poiché i ranghi eguagliano il numero delle incognite del sistema, il sistema ha un’unica soluzione. Per calcolarla, torniamo alla formulazione cartesiana del sistema a partire dalla riduzione a scala. Si ottiene, per sostituzioni all’indietro (dunque a partire dall’ultima equazione),    x −z = 1, 4y + 6z = 2, − 6 4z = 6 4 ⇒    x = 0, y = 2, z = −1. 1 Esercizio 2. Si risolva il sistema lineare    x +y = 1, kx +y +z = 1 −k, y + (1 −k)z = 1, al variare del parametro realek. Soluzione. Seguendo i passi del primo esercizio, determiniamo che la matrice completa del sistema, a cui applicare il MEG, è A|b =   1 1 0 1 k 1 1 1 −k 0 1 1 −k 1  . La riduzione a scala può essere ottenuta con i seguenti…