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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 10-7-2018 Esercizio 1. Nello spazio euclideo R3, si consideri il punto A = (0, 3, 4) e i piani Π 1 e Π 1, rispettivamente di equazioni cartesiane Π1 : x−y−z− 1 = 0, Π1 : 3 x−y +z− 1 = 0. a. Determinare l’intersezione tra Π 1 e Π1. b. Scrivere equazioni parametriche di una retta, se esiste, che passi per il punto A e sia parallela a Π 1 e Π1. Soluzioni a. Dobbiamo risolvere il sistema { x−y−z = 1, 3x−y +z = 1. Sommando le due equazioni deduciamo y = 2x− 1, che, sostituito nella prima equazione del sistema, ha come conseguenza l’equazione z =−x. Di conseguenza, l’intersezione tra i piani Π 1 e Π1 ` e la retta    x =t, y = 2t− 1, z =−t. (t∈ R) b. Esiste un’unica retta, chiamiamolar, che passa per il puntoA e che ` e parallela sia a Π1 e Π1. Precisamente, ` e la retta passante perA e parallela alla retta Π 1 e Π1. Equazioni parametriche per tale retta r sono:    x =s, y = 2s + 3, z =−s + 4. (s∈ R) Esercizio 2. Si consideri la matrice quadrata 3 × 3 dipendente da un parametro reale α Aα =   1 0 α 0 1 0 1 0 1  . a. Stabilire per quali α tale matrice risulta diagonalizzabile; b. per il valore α = 1 esibire una matrice diagonale Λ ed una matrice ortogonale P tali che P−1AP = Λ; c. Sia dato il vettore wα = [2,α,−1]T . Descrivere geometricamente il luogo dei punti Aαwα di R3, al variare di α. Soluzioni a. Abbiamo det(Aα−λI3) = det   1−λ 0 α 0 1 −λ 0 1 0 1 −λ   = (1−λ)3−α(1−λ) = (1−λ) ( λ2− 2λ + 1−α ) . Di conseguenza, gli autovalori di A sono λ1 = 1, λ 2(α) = 1 +√α e λ3(α) = 1−√α. Per stabilire se Aα ` e diagonalizzabile, ` e necessario calcolare le molteplicit` a algebriche e geometriche di tali autovalori. A tale proposito separiamo i seguenti casi • α̸= 0: in questo caso, poich` e…