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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 28-8-2018 Esercizio 1. (Cf. Prima Prova in Itinere a.a. 2017-2018) Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: () jz3 8ij = 1 z3 1 8i : a. Determinare le soluzioni di ( ) e rappresentarle sul piano complesso. b. Descrivere l'insieme S = fw 2 C : w = (1 + i)z ove z e soluzione di ()g e rappresentarlo sul piano complesso. Soluzioni a. Notiamo subito che z = 0 e un valore non accettabile, pertanto esso non pu o essere soluzione di ( ). Abbiamo quindi jz3 8ij = 1 z3 1 8i ( ) j z3 8ij = 8i z3 8iz3 ( ) j z3 8ij ( j8iz3j 1 ) = 0: Per tanto, in virt u della legge di annullamento del prodotto, tutte e sole le soluzioni di ( ) soddisfano il sistema 8 >< >: z3 8i = 0 ( ) z3 = 8i (problema di radice cubica) ; j8iz3j = 1 ( ) j zj3 = 1 8 (equazione dei moduli) : L'insieme delle soluzioni di ( ) sar a pertanto rappresentato da A [ B, ove A = 3p 8i = { 2 [ cos ( 6 ) + i sin ( 6 )] ; 2 [ cos ( 5 6 ) + i sin ( 5 6 )] ; 2 [ cos ( 3 2 ) + i sin ( 3 2 )]} = {p 3 + i; p 3 + i; 2i } (triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio 2) e B = { z 2 C : jzj = 1 2 } (circonferenza di centro 0 e raggio 1/2) : b. L'insieme S pu o essere descritto come f (A) [ f (B), ove f (z) = (1 + i)z. Ricordando che tale funzione rappresenta una roto-dilatazione di centro 0, angolo =4 e modulo p 2, abbiamo quindi f (A) = { (1 + i)( p 3 + i); (1 + i)( p 3 + i); 2i(1 + i); } = {p 3 1 + i( p 3 + 1); p 3 1 + i( p 3 + 1); 2 2i } (triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio 2 p 2) e f (B) = { z 2 C : jzj = p 2 2 } (circonferenza di centro 0 e raggio p 2=2): Esercizio 2. (Cf. Seconda Prova in Itinere a.a. 2017-2018) Si consideri, al variare di 2…
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