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Probabilit` a e Statistica — 10.09.2019 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e s oltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttame nte. Domanda 1. Se una coppia ( X, Y ) di variabili alea- torie ha densit` a congiunta pX,Y data da pX,Y (1 , 0) = pX,Y (−1, 0) = pX,Y (0 , 1) = 1 /3 allora V Fz X e Y sono indipendenti, V Fz X e Y non sono correlate, V Fz X e Y hanno la stessa densit` a. Domanda 2. Sia X1, . . . , X n un n-campione ( n > 2) della densit` a E(λ) esponenziale con parametro λ > 0. De- notiamo con X n la media campionaria. La legge dei grandi numeri afferma che X n converge verso λ per n → ∞ , z X n converge verso 1 /λ per n → ∞ , λ√n(X n − λ−1), per n grande, ha approssimati- vamente densit` a normale N (0 , 1). Domanda 3. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti con densit` a B(1 , p ). V Fz XY ha densit` a B(1 , p 2), V Fz X + Y ha densit` a B(1 , 2p), V Fz (1 − X)(1 − Y ) ha densit` a B(1 , (1 − p)2). Domanda 4. Sia X una variabile aleatoria con densit` a f (x) = 2 x per 0 < x < 1 e 0 altrimenti. Indicare l’unica risposta corretta Var [ X] = 8, E [X] = 1, z P {X > 1/2} = 3 /4, P {X < 1/2} = 1 /2, Domanda 5. Sia X1, . . . , X n un n-campione della den- sit` a N (µ, σ 2) ( µ, σ 2 non noti). La lunghezza dell’intervallo di condifidenza bilatero di livello (1 − α) per µ ` e: 2zασ/ √n, 2zα/√n, , z 2tα/ 2,n −1Sn/√n, tα/ 2,n −1/√n, Domanda 6. Se X, Y due variabili aleatorie indipendenti con densit` a normale N (0 , 1) allora: V Fz X + 3 Y ha densit` a normale N (0 , 4), V Fz 2X − 3Y ha densit` a normale N (0 , 13), V Fz 2X − 3Y ha densit` a normale N (0 , 5) Domanda 7. Siano X una variabile aleatoria con fun-…