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10 Settembre 2019 — Esercizi Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria continua con densit` a di probabilit` a f (x) =    0 x < 0 (k − x) 0 ≤ x ≤ k 0 x > k . 1.1 Si determini il valore della costante positiva k. Soluzione : Affinch´ e f (x) sia una densit` a occorre che ∫ +∞ −∞ f (x) dx = 1. Essendo ∫ +∞ −∞ f (x) dx = ∫ k 0 (k − x) dx = k2 2 si ottiene k = √ 2. 1.2 Si calcoli la funzione di ripartizione F (x). Soluzione : F (x) =    0 x < 0√ 2x − x2 2 0 ≤ x ≤ √ 2 1 x > √ 2 1.3 Si calcolino mediana, media e varianza di X (approssimare alla terza cifra decimale). Soluzione : Si ha med (X) = 0 .4142, E[X] = ∫ +∞ −∞ xf (x) dx = ∫ √ 2 0 ( √ 2 x − x2) dx = √ 2 − 23/2 3 = 0 .471 E[X 2] = ∫ +∞ −∞ x2f (x) dx = ∫ √ 2 0 ( √ 2 x2 − x3) dx = 4 3 − 1 = 0 .333 V ar (X) = E[X 2] − (E[X]) 2 = 0 .111 1.4 Sia X1, . . . , X 100 un campione casuale di 100 osservazioni di v.a. con densit` a f . Si calcoli la probabilit` a approssimata che la somma ∑100 i=1 Xi sia minore di 50. Soluzione : Utilizzando il Teorema Centrale del Limite, si pu` o approssimare la ditribuzione di ∑100 i=1 Xi con una Normale di media 47 .1 e varianza 11 .1. Si ottiene quindi P ( 100 ∑ i=1 Xi < 50 ) = P ( ∑100 i=1 Xi − E[∑100 i=1 Xi] √ V ar (∑100 i=1 Xi) < 50 − 47 .1 √ 11 .1 ) ≈ Φ(0 .8704) = 0 .808. Esercizio 2 Sia ( X, Y ) un vettore di variabili aleatorie discrete, con densit` a congiunta: X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.1 Y = 1 0.1 pX(xi) 1. Sapendo che P {X = 0 } = 0 .5, completare la tabella calcolando le densit` a congiunta e marginali. Soluzione : Poich´ e 0 .5 = P {X = 0 } = 0 .1 + P {X = 0 , Y = 1 }, segue che P {X = 0 , Y = 1 } = 0 .4. Aalogamente, si ottiene P {X = 1 , Y = 0 } = 0 .4. Ossia X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.1 0.4 0.5 Y = 1 0.4 0.1 0.5 pX (xi) 0.5 0.5 1 2. Calcolare P {Y = 1 |X = 0 }. Soluzione :…