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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 8/9/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Si considerino infiniti lanci indipendenti di un dado non truccato. (a) Si introducano uno spazio campionario Ω, una σ-algebraA e una probabilit` aP adatti a descrivere l’esperimento aleatorio. (b) Si calcoli la probabilit` a dell’eventoA1 = “Esce 1 al primo lancio, 2 al secondo, 3 al terzo, 4 al quarto, 5 al quinto e 6 al sesto ”. (c) Si calcoli la probabilit` a dell’eventoA2 = “Esce almeno un 1 su infiniti lanci ”. (d) Si calcoli la probabilit` a dell’eventoA3 = “Escono almeno un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 e un 6 su infiniti lanci ”. Si considerino ora le variabili aleatorie reali discrete • Xn = risultato dell’n-esimo lancio, • Sn = somma dei risultati dei primi n lanci. (e) Si mostri che X1,X 2,... ` e una successione di variabili aleatorie indipendenti. (f) Si calcolino legge ed attesa condizionata di X1 a S6 = 7. (g) Si calcolino legge ed attesa condizionata di X7 a S6 = 7. Soluzione. (a) • Ω ={1,..., 6}N, • A=σ ( Ek n ⏐⏐⏐k = 1,..., 6, n∈ N ) , doveEk n ={ω = (ωn)n∈N∈ Ω t.c. ωn =k} =“esce k al lancio n-esimo”, • P tale che P (Ek n) = 1/6 per ogni n e k e tale che gli Ek n risultino indipendenti. (b) P (A1) =P (⋂6 n=1En n ) = ∏6 n=1P (En n) = 1/66 = 0.000021433. (c) P (⋂∞ n=1(E1 n)c ) = limmP (⋂m n=1(E1 n)c ) = limm(5/6)m = 0 ⇒P (A2) =P (⋃∞ n=1E1 n ) = 1−P ((⋃∞ n=1E1 n )c) = 1−P (⋂∞ n=1(E1 n)c ) = 1. 1 (d) Ragionamenti analoghi valgono per “ Esce almeno un k su infiniti lanci ”, per cui P (A3) =P (⋂6 k=1 (⋃∞ n=1Ek n )) = 1. (e) P (X1…