Exercise 05

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Probabilit`a 2020/2021 — Esercizi 5 V ariabili aleatorie continue. Esercizio 1. Si consideri lo spazio di probabilit `a (Ω,A, P) = ( R,B, m0,1 ) , dove m0,1 = m(B∩ (0,1]), ∀B∈B , ed m `e la misura di Lebesgue sui boreliani. Si considerino inoltre le funzioni X,Y,Z :Ω = R→ R definite sull’intervallo (0,1) nel modo seguente: X(ω) = 1 ω, Y (ω) = 1√ω, Z (ω) = logω, per ogni ω∈ (0,1). Per quanto riguarda il valore di X,Y,Z su R\(0,1), si sa solamente che X,Y,Z sono costanti su tale insieme. (a) Mostrare che X,Y eZ sono variabili aleatorie ben definite q.c. (b) Determinare le distribuzioni di X, Y e Z, mostrando in particolare che si tratta di variabili aleatorie continue. (c) Calcolare le densit `a di probabilit`a diX,Y eZ. (d) Calcolare i valori attesi di X,Y eZ. (e) Esibire un’altra variabile aleatoria ˜X con la stessa legge di X, ma definita su un altro spazio di probabilit`a (˜Ω, ˜A,˜P). Esercizio 2. Data una variabile aleatoria reale continuaX con densit`af simmetrica rispetto aµ∈ R, si mostri che (a) µ `e una mediana, (b) Se E[|X|]< +∞, alloraµ = E[X]. Esercizio 3 (Distribuzione di Cauchy ). Data una variabile aleatoria di CauchyX, con densit`a f(x) = 1 π ( 1 + (x −α)2 ), α ∈ R, si calcolino: (a) la mediana, (b) E[X], (c) E[X2]. Esercizio 4*. Data X variabile aleatoria positiva e continua, denotata con F la sua funzione di ripartizione, si mostri che E[X] = ∫ +∞ 0 ( 1 −F(x) ) dx. 1 Esercizio 5 (Distribuzione esponenziale). Si consideriX ∼E(λ), variabile esponenziale di parametro λ> 0, quindi con densit`a f(x) =λe−λx1 [0,+∞)(x), x ∈ R. (a) Calcolare la moda di X. (b) Calcolare il valore atteso E[X] e la varianza Var(X). (c) Calcolare la funzione di ripartizione FX diX. (d) (Propriet `a di assenza di memoria) Mostrare cheP(X>s +t|X>s ) =P(X>t ) per ognis,t> 0. (e*) Si…