Appunti riassuntivi statistica

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University: Politecnico di Milano
Degree programme: Mathematical Engineering
Subject: ProbabilitÃ
Material language: Italian
Classification: Notes · By topic
Original format: PDF
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INTRODUZIONE ALLA STATISTICA C O M P E N D I O M E TO D O L O G I C O I N T RO D U T T I VO Introduzione Generale alla Statistica Concetti cardine, architettura concettuale, classificazione delle rilevazioni e paradigmi dell'indagine scientifica quantitativa. 1. Oggetto, Metodo ed Evoluzione della Disciplina La statistica è l'insieme coordinato di principi scientifici e metodologie quantitative deputato alla raccolta, sistematizzazione, misurazione, analisi e interpretazione di dati empirici. Storicamente nata come "scienza dello Stato" per censire popolazione, risorse agricole e beni fiscali, essa rappresenta oggi la spina dorsale di qualsiasi processo di scoperta scientifica e processo decisionale guidato dai dati (data-driven decision making). La ragion d'essere della statistica risiede nella presenza pervasiva della variabilità e dell'incertezza: se tutti gli individui reagissero allo stesso modo a una terapia medica o se ogni macchinario producesse pezzi rigorosamente identici, la statistica non avrebbe motivo di esistere. Il suo compito primario è isolare il segnale informativo di fondo dal "rumore di fondo" accidentale che caratterizza qualsiasi misurazione del mondo reale. 2. Le Due Grandi Branche: Descrittiva ed Inferenziale Statistica Descrittiva Statistica Inferenziale Rivolge la propria analisi al collettivo osservato. Non Estende le conclusioni ricavate da una frazione formula previsioni su elementi esterni: sintetizza, limitata (campione) all'intero universo di riferimento ordina e rappresenta graficamente i dati tramite (popolazione), governando e quantificando distribuzioni di frequenza, indici di posizione e formalmente il rischio di errore mediante le leggi del indicatori di dispersione. calcolo delle probabilità. 3. Il Lessico Fondamentale della…

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INTRODUZIONE ALLA STATISTICA 4. Tassonomia delle Variabili e Scale di Misurazione La scelta dei metodi di calcolo e dei modelli previsionali applicabili dipende rigorosamente dalla scala di misurazione adottata, formalizzata dal celebre paradigma di S. S. Stevens. Scala / Tipo Proprietà Formali Operazioni Concesse Esempi Empirici Modalità sconnesse; Uguaglianza, Genere, colore occhi, gruppo Nominale (Qualitativa) differenze puramente distintive disuguaglianza (=, ≠). sanguigno, settore di impiego. senza alcun ordine implicito. Calcolo della moda. Esiste una graduatoria o Ordinamento (<, >, ≤, ≥). Titoli di studio, scale di Ordinale (Qualitativa) gerarchia intrinseca e Mediana e quantili. gradimento Likert, gradi militari. convenzionale tra le modalità. Distanze numeriche costanti; A Intervalli Addizione e sottrazione. Temperatura in °C o °F, anni di lo zero è arbitrario/ (Quantitativa) Media aritmetica e varianza. calendario storico. convenzionale. Presenza di uno zero assoluto Tutte le operazioni Di Rapporti Reddito, età anagrafica, peso, naturale indicante l'assenza aritmetiche (+, −, ×, ÷). Tutti (Quantitativa) altezza, fatturato annuo. del carattere. gli indici. Le variabili quantitative si distinguono ulteriormente in discrete (valori isolati e numerabili, generati comunemente da operazioni di conteggio, come il numero di figli o di difetti in una scheda) e continue (possono assumere qualunque valore all'interno di un intervallo reale, generate da misurazioni strumentali come massa, durata o concentrazione). 5. Organizzazione e Sintesi: Tabelle di Frequenza I dati grezzi raccolti in matrice (matrice casi per variabili) necessitano di una preliminare riduzione strutturata attraverso la costruzione delle tabelle di frequenza: • Frequenza Assoluta (ni): Il conteggio…

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INTRODUZIONE ALLA STATISTICA 6. Misure di Tendenza Centrale e Posizione Gli indici di tendenza centrale sintetizzano l'intera distribuzione in un singolo scalare rappresentativo, attorno al quale si addensa il baricentro dell'osservazione. 6.1 La Media Aritmetica Costituisce il baricentro algebrico della distribuzione. Per un insieme di N osservazioni individuali: μ = (1 / N) · Σi=1N xi Media aritmetica per valori disaggregati Gode di proprietà algebriche fondamentali: la somma algebrica di tutti gli scarti rispetto alla media aritmetica è identicamente nulla (Σ(xi − μ) = 0), e la media minimizza la somma dei quadrati degli scarti. Criticità intrinseca: risente fortemente della presenza di valori anomali estremi (outliers), che rischiano di distorcerne la rappresentatività. 6.2 La Mediana È il valore che bipartisce la serie ordinata delle osservazioni: esattamente metà delle osservazioni presenta valori inferiori o uguali ad essa e l'altra metà valori superiori o uguali. • Con N dispari, la mediana corrisponde puntualmente al valore in posizione (N + 1) / 2. • Con N pari, corrisponde per convenzione alla media aritmetica dei due elementi mediani contigui alle posizioni N/2 e (N/2) + 1. La mediana è un indice robusto: un reddito astronomico aggiunto a un campione di lavoratori non sposta minimamente la mediana, mentre altererebbe drasticamente la media. 6.3 La Moda e i Quantili La moda è la modalità cui corrisponde la massima frequenza osservata. È l'unico indice di posizione calcolabile per caratteri su scala nominale. I quantili generalizzano la mediana, frammentando la distribuzione in quote prestabilite: i quartili (Q1, Q2 = Me, Q3) suddividono la serie ordinata in quattro quarti equivalenti (25%, 50%, 75%); i percentili in cento frazioni centesimali, largamente…

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INTRODUZIONE ALLA STATISTICA 7. Indici di Variabilità e Dispersione La sola misura di posizione centrale è largamente insufficiente: un paziente con la testa in un forno e i piedi in un congelatore ha in media una temperatura accettabile, ma si trova in una condizione letale. La variabilità esprime l'attitudine dei dati ad assumere valori dissimili tra loro e distanti dal baricentro medio. 7.1 Varianza e Deviazione Standard La misura metrica cardinale della dispersione è la varianza (σ2), definita come la media dei quadrati degli scarti rispetto alla media aritmetica: σ2 = (1 / N) · Σi=1N (xi − μ)2 | s2 = (1 / (n − 1)) · Σi=1n (xi − x̄)2 A sinistra: varianza di popolazione (σ2). A destra: varianza campionaria corretta (s2) Poiché l'unità di misura della varianza risulta quadrata rispetto a quella dei dati originari, si calcola la radice quadrata positiva ottenendo la deviazione standard (scarto quadratico medio, σ o s): σ = √[ σ2 ] Deviazione standard: grandezza espressa nella stessa scala dei dati primari 7.2 Indicatori Relativi e Misure di Posizione della Dispersione Per paragonare la variabilità di grandezze espresse in unità diverse o con medie di grandezza differente (es. la dispersione del peso nei neonati rispetto agli adulti), si adotta il Coefficiente di Variazione (CV): CV = (σ / |μ|) · 100% Indice adimensionale puro di variabilità relativa • Range o Campo di Variazione: R = xmax − xmin. Semplice da calcolare ma iper-sensibile a singoli valori anomali. • Differenza Interquartile (IQR): IQR = Q3 − Q1. Misura l'estensione del 50% centrale dei dati ed è alla base della costruzione analitica del Boxplot per l'identificazione oggettiva degli outlier. Standardizzazione delle Variabili (Punteggi Z) La trasformazione lineare Z = (X − μ) / σ converte una variabile in…

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INTRODUZIONE ALLA STATISTICA 8. Analisi Bivariata: Correlazione e Regressione Quando su ogni unità statistica si rilevano simultaneamente due variabili quantitative (X, Y), l'obiettivo si sposta sull'analisi dell'interdipendenza e dell'associazione funzionale. Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson (r) quantifica il grado di concordanza o discordanza lineare tra i caratteri: r = Cov(X, Y) / (σX · σY) con −1 ≤ r ≤ +1 Coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson • r > 0: Correlazione positiva (le variabili tendono a crescere congiuntamente). • r < 0: Correlazione negativa (all'aumentare di una variabile l'altra diminuisce). • r = 0: Assenza di legame lineare (non esclude un legame quadratico o non lineare). Se la correlazione misura la reciproca associazione simmetrica, il modello di regressione lineare semplice stabilisce un legame asimmetrico di dipendenza causale o predittiva: Y = β0 + β1X + ε, stimato tramite il metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS). 9. Il Salto Concettuale verso l'Inferenza Statistica L'inferenza statistica permette di trarre conclusioni scientifiche rigorose su intere popolazioni partendo da campioni limitati. Questa transizione metodologica è retta da due capisaldi probabilistici: • Legge dei Grandi Numeri (LLN): Garantisce che all'aumentare della taglia campionaria, la media del campione converga matematicamente verso il vero valore medio della popolazione. • Teorema del Limite Centrale (CLT): Stabilisce che la distribuzione delle medie campionarie estratte da campioni sufficientemente numerosi (n ≥ 30) segue approssimativamente una distribuzione normale, a prescindere dalla forma originaria della popolazione. Stima e Test d'Ipotesi L'inferenza si articola in intervalli di confidenza (stima di un parametro ignoto associata a…

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