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Analisi Matematica II - 11 febbraio 2015 - Ing. Gestionale - parte A Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante T utte le risposte devono essere giusti cate. Domanda 1 Enunciare e dimostrare il teorema di Rouch e-Capelli sui sistemi lineari. Soluzione. Si veda il libro di testo. Domanda 2 Dare un esempio di funzione z = f (x; y) per la quale 1. la restrizione F (x) = f (x; y(x)) ad ogni retta per l'origine y mx = 0 ammetta lim x!0 F (x) = 0 2. non esista lim (x;y)!(0;0) f (x; y). Soluzione. Il seguente esempio e stato presentato a lezione. Sia f (x; y) = x2y x4 + y2 . Restringiamo la funzione alla retta y = mx. Abbiamo: f (x; mx) = F (x) = mx x2 + m2 e lim x!0 F (x) = 0 per ogni m. Per la retta x = 0 si ha immediatamente f (0; y) = 0. Per mostrare che il limite di f (x; y) per ( x; y) ! (0; 0) non esiste basta considerare la restrizione a y = ax2. Si ha lim (x;y)!(0;0) ax4 x4 + a2x4 = a 1 + a2 ovvero il limite non esiste, in quanto dipende dalla scelta di a. Domanda 3 Enunciare il teorema del Dini sulle funzioni implicite e dedurne la formula per la derivata prima della funzione implicita. Soluzione. Si veda il libro di testo. Analisi Matematica II - 11 febbraio 2015 - Ing. Gestionale - parte B Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante T utte le risposte devono essere giusti cate. Esercizio 1 Per quali valori del parametro k la seguente matrice Ak e diagonalizzabile nel campo reale ? Ak = 2 4 k 0 k 2 0 1 2 k k 1 0 2 3 5 : L'equazione caratteristica e ( 1)( 2 + (2 + k) + k2 5k + 2) = 0; gli autovalori di Ak sono 1 = 1 e 2;3 = k + 2 p 5k2 16k + 12 2 , dunque sono reali per 5 k2 16k + 12 0 e cio e perk 6=5 e per k 2. Se i tre autovalori sono distinti, e quindi mg = ma…
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