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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale Febbraio 2020 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [4 punti ] Siano V ={(a, 0, 3b) :a,b∈ R} e W ={(2a,a,−a) :a∈ R}. Verificare cheV e W sono sottospazi vettoriali di R3 e determinarne la dimensione ed una base. Svolgimento. Osserviamo che V = Span      1 0 0  ,   0 0 3      e pertanto V ` e un sottospazio vettoriale. Siccome i due vettori u1 =   1 0 0  , u2 =   0 0 3  , sono linearmente indipendenti, concludiamo che dim(V ) = 2 ed una base di V ` e{u1, u2}. Per quanto riguarda W , abbiamo W = Span      2 1 −1     . PertantoW ` e un sottospazio vettoriale di dimensione 1 ed una sua base ` e data dal singolo vettore u3 =   2 1 −1  . 1 Esercizio 2. [5 punti ] Stabilire se la matrice M =   1 0 0 5 0 6 −5 2 −4   ` e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonaleD e una matrice invertibile B tali che D =B−1MB. Svolgimento. Il polinomio caratteristico di M ` e det (M−λI) = det   1−λ 0 0 5 −λ 6 −5 2 −4−λ   . Sviluppando il determinante rispetto alla prima riga abbiamo det (M−λI) = (1−λ)[λ(λ + 4)− 12] = (1−λ)(λ2 + 4λ− 12) = (1−λ)(λ− 2)(λ + 6). PertantoM ha tre autovalori semplici λ1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 =−6, e quindi ` e diagonalizzabile. La matrice diagonaleD richiesta ` e D =   1 0 0 0 2 0 0 0 −6   . Per ogni i = 1, 2, 3, determiniamo un autovettore vi relativo a λi risolvendo i sistemi lineari (M−λiI)vi = 0. Troviamo facilmente v1 =   −7/5 −1 1  , v2 =   0 3 1  , v3 =   0 −1 1  . La matrice B richiesta ha per colonne v1, v2, v3, ed ` e quindi B =   −7/5 0 0 −1 3 −1 1 1 1   . 2 Esercizio 3. [5 punti ] (i) Calcolare lim (x,y)→(0,0) arctan(3xy) x2 +y2 o dimostrare che…