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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 12 Settembre 2006 1. Si consideri il seguente sistema dinamico a tempo continuo descritto mediante schema a blocchi: 1.a Si calcoli la funzione di trasferimento ()Gs dal segnale ()ut al segnale ) (ty . 1.b Dopo aver verificato che ()Gs ha un polo doppio di valore 4 e un polo semplice di valore -2, si determini l’espressione analitica della risposta ()yt corrispondente (per condi zioni inizia li nulle) al segnale di ingresso () ()ut i m pt= . Precisamente, si dica qual è la risposta esatta tra le quattro seguenti: I) () () 2 84() () c o s 4 s i n 4 ()33 tyt e s c at t t s c at− ⎡⎤=− + + ⎢⎥⎣⎦ II) 44 2() () 6 () ()tt tyt e s c at e r a m pt e s c at −=− + + III) 241() () ()2 tty t e ramp t e ramp t −⎡⎤=− ⎣⎦ IV) 44 2() () () ()tt ty te s c a te r a m p te s c a t −=+ + Soluzione 1.a Si possono considerare tre “passi”: Rosso: cascata: 1 s 6s s + = 2 6s s + . Blu: fdt da ( )wt a ( )zt (parallelo): 22 16 3 6 6 (6 ) s s ss s +−=− − (è la funzione d’andata nella retroazione). Fdt da ( )ut a ( )yt (retroazione positiva): 2 32 2 36 36(6 )() 36 8 63 21 9(6 ) ssGs ss ss −== − +⎛⎞−⋅ − ⎜⎟− ⎝⎠ . ()wt ()zt ()ut ()yt 1 s + _ + + 1 6s − 1 s 6s s + 8 9− ()ut ()yt 1 s + _ + + 1 6s − 1 s 6s s + 8 9− 2 1.b Per effettuare la verifica relativa ai poli di G(s), basta osservare che 23 2(4 ) (2 ) 6 3 2ss s s− +=− + . La fdt del sistema considerato si può quindi scrivere come 2 36() (4 ) (2 )Gs ss= − + La risposta all’impulso del sistema è la II), ossia 44 2() () 6 () ()tt tyt e s c at e r a m pt e s c at −=− + + . Infatti, calcoliamo innanzitutto la trasformata di Laplace dell’uscita corrispondente all’ingresso impulsivo dato: () 2 36() () ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 4( 2 ) u t i m p t Us Ys Gs Us ss =⇒ = ⇒ = = − + ; pertanto, secondo il…