12 09 17

Page 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 12 Settembre 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . Il Deserto dei Gobbi è una delle regioni più aride della Terra. È noto infatti che in un anno (= 365 giorni) ci piove in media per soli1.095 giorni. Si sa inoltre che ogni giorno c’è la stessa probabilità che piova, e le condizioni meteorologiche in giorni diversi sono tutte indipendenti tra loro. (a) Qual è la probabilità che nel Deserto dei Gobbi piova il prossimo 14 gennaio? (b) Qual è la probabilità che nel Deserto dei Gobbi il prossimo anno piova almeno un giorno? (c) Nel punto precedente si può usare un’opportuna approssimazione. Quale e perché? Il Dattero Dorato è un frutto molto pregiato che cresce solo nel Deserto dei Gobbi. L’albero che lo produce fruttifica una volta sola all’anno, e lo fa se e soltanto se in quell’anno nel Deserto piove per almeno un giorno. (d) Qual è la probabilità che in5 anni si facciano almeno4 raccolti di Datteri Dorati? (e) Qual è la probabilità che in50 anni si facciano almeno40 raccolti di Datteri Dorati? (f) Nel punto precedente si può usare un’opportuna approssimazione. Quale e perché? Risultati. (a) Introduciamo la variabile aleatoria X = numero di giorni di pioggia in un anno. Allora X∼B(365,p ), dovep è la probabilità che piova in un giorno qualsiasi. Abbiamo 1.095 = E(X) = 365p ⇒ p = 1.095 365 = 0.003. (b) Per l’approssimazione di Poisson, X∼B(365, 0.003)≈P (365· 0.003) =P(1.095) e quindi la probabilità cercata è P(X≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1− e−1.095 1.0950 0! = 66.546%. Senza l’approssimazione di Poisson, P(X≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1− (365 0 )…