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Seconda prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 13/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:______ Onde (27pt) Tre sorgenti identiche (quindi sincrone e con medesima polarizzazione) di onde radio sono poste come in figura. Le sorgenti 1 e 2 distano 𝑑𝑑 = 10 𝑚𝑚, mentre la sorgente 3 dista 2𝑑𝑑 dalla sorgente 2. Le sorgenti emettono isotropicamente onde di frequenza 𝜈𝜈 = 150 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 non polarizzate, ognuna con potenza 𝑃𝑃0 = 16 𝑊𝑊. A distanza 𝐿𝐿 = 1500 𝑚𝑚 è posto uno schermo sul quale si raccoglie la radiazione proveniente dal sistema di sorgenti. Si ponga su di esso un riferimento cartesiano, 𝑦𝑦 (vale quindi 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿 tan 𝜃𝜃), come in figura. Calcolare: O.1) L’ampiezza dell’onda risultante, 𝐸𝐸𝑅𝑅 (0), in 𝑦𝑦 = 0 𝜋𝜋 𝜋𝜋 O.2) L’intensità dell’onda risultante a 𝜃𝜃 = , 𝐼𝐼𝑅𝑅 � �, sempre sullo schermo 6 6 La sorgente 1 viene ora, e per il resto del problema, spenta. Viene ora posto un blocco di materiale dielettrico, di indice di rifrazione 𝑛𝑛𝑣𝑣 = 1.6 e di spessore 𝑠𝑠 =0.8 m, di fronte alla sorgente 3 (vedi figura) O.3) Trascurando le riflessioni multiple all’interno del blocco, ma tenendo conto di eventuali attenuazioni, calcolare l’intensità dell’onda risultante, 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑠𝑠 (0), in 𝑦𝑦 = 0. Il blocco di vetro viene ora rimosso e di fronte alla sorgente 2 viene posto un polarizzatore con asse diretto lungo 𝑦𝑦�, di fronte alla sorgente 3 viene posto un secondo polarizzatore con asse diretto lungo 𝑧𝑧̂ O.4) Calcolare l’intensità risultante, 𝐼𝐼𝑃𝑃 (0), in 𝑦𝑦 = 0, giustificando brevemente 2 la risposta. [Hint: 𝐸𝐸𝑅𝑅2 = �𝐸𝐸�⃗1 + 𝐸𝐸�⃗2 � = 𝐸𝐸12 + 𝐸𝐸22 + 2𝐸𝐸�⃗1 ⋅ 𝐸𝐸�⃗2 ] Il polarizzatore di fronte alla sorgente 3 viene ora…
Seconda prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 13/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:______ Soluzioni Le due sorgenti sono identiche per cui hanno la stessa fase e la stessa polarizzazione. Si deve quindi tenere conto dei fenomeni di interferenza sullo schermo lontano. O.1) Lo schermo è posto a distanza 𝐿𝐿 ≫ 3𝑑𝑑 per cui 𝑦𝑦 = 0 ⟺ 𝜃𝜃 = 0 (si può infatti verificare facilmente che 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 , 𝑟𝑟3 differiscono tra loro di distanze molto inferiori a una 𝜆𝜆). In questa situazione le 3 onde giungono in fase sullo schermo e quindi 𝐸𝐸𝑅𝑅 (0) = 3𝐸𝐸1 (0) Con 𝐸𝐸1 (0) campo dell’onda di una singola sorgente misurato in 𝑦𝑦 = 0. L’intensità dell’onda di una sorgente in tale punto è: 𝑃𝑃0 𝑊𝑊 𝐼𝐼1 (0) = 2 = 5.66 × 10−7 2 4𝜋𝜋𝐿𝐿 𝑚𝑚 Da cui 1 𝑉𝑉 𝑽𝑽 𝐼𝐼1 (0) = 𝜖𝜖0 𝑐𝑐𝐸𝐸12 (0) → 𝐸𝐸1 (0) = 2.06 × 10−2 → 𝑬𝑬𝑹𝑹 (𝟎𝟎) = 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 2 𝑚𝑚 𝒎𝒎 O.2) Gli sfasamenti tra le onde 1 e 2 e tra le onde 2 e 3 sono: 2𝜋𝜋 1 𝛿𝛿12 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 = ⋅ 10 ⋅ = 5𝜋𝜋 2 2 𝛿𝛿23 = 2𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 = 10𝜋𝜋 Le due onde provenienti dalle sorgenti 1 e 2 sono quindi in opposizione di fase quando giungono sullo schermo, l’intensità sullo schermo è quindi quella dovuta ad una singola sorgente che è posta ad una distanza Δ𝑟𝑟 = 𝐿𝐿/ cos 𝜃𝜃 dallo schermo: 𝝅𝝅 𝑃𝑃0 3 𝑰𝑰𝑹𝑹 � � = cos 2 𝜃𝜃 = 𝐼𝐼1 ( 0) ⋅ = 𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟔𝟔 4𝜋𝜋𝐿𝐿2 4 O.3) Le due onde hanno variazioni di fase dovute al loro cammino pari a 𝜙𝜙1 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜙𝜙2 = 𝑘𝑘 (𝐿𝐿 − 𝑠𝑠) + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 La differenza di fase tra le due onde sullo schermo è 𝛿𝛿 = 𝜙𝜙2 − 𝜙𝜙1 = 𝑘𝑘 (𝑛𝑛 − 1)𝑠𝑠 = 1.508 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 L’onda 2 incontra due interfacce…
Seconda prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 13/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:______ Onde (27pt) Tre sorgenti identiche (quindi sincrone e con medesima polarizzazione) di onde radio sono poste come in figura. Le sorgenti 1 e 2 distano 𝑑𝑑 = 5 𝑚𝑚, mentre la sorgente 3 dista 2𝑑𝑑 dalla sorgente 2. Le sorgenti emettono isotropicamente onde di frequenza 𝜈𝜈 = 30 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 non polarizzate, ognuna con potenza 𝑃𝑃0 = 25 𝑊𝑊. A distanza 𝐿𝐿 = 4000 𝑚𝑚 è posto uno schermo sul quale si raccoglie la radiazione proveniente dal sistema di sorgenti. Si ponga su di esso un riferimento cartesiano, 𝑦𝑦 (vale quindi 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿 tan 𝜃𝜃), come in figura. Calcolare: O.1) L’ampiezza dell’onda risultante, 𝐸𝐸𝑅𝑅 (0), in 𝑦𝑦 = 0 𝜋𝜋 𝜋𝜋 O.2) L’intensità dell’onda risultante a 𝜃𝜃 = , 𝐼𝐼𝑅𝑅 � �, sempre sullo schermo 6 6 La sorgente 1 viene ora, e per il resto del problema, spenta. Viene ora posto un blocco di materiale dielettrico, di indice di rifrazione 𝑛𝑛𝑣𝑣 = 1.6 e di spessore 𝑠𝑠 = 4 𝑚𝑚, di fronte alla sorgente 2 (vedi figura) O.3) Trascurando le riflessioni multiple all’interno del blocco, ma tenendo conto di eventuali attenuazioni, calcolare l’intensità dell’onda risultante, 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑠𝑠 (0), in 𝑦𝑦 = 0. Il blocco di vetro viene ora rimosso e di fronte alla sorgente 2 viene posto un polarizzatore con asse diretto lungo 𝑦𝑦�, di fronte alla sorgente 3 viene posto un secondo polarizzatore con asse diretto lungo 𝑧𝑧̂ O.4) Calcolare l’intensità risultante, 𝐼𝐼𝑃𝑃 (0), in 𝑦𝑦 = 0, giustificando brevemente 2 la risposta. [Hint: 𝐸𝐸𝑅𝑅2 = �𝐸𝐸�⃗1 + 𝐸𝐸�⃗2 � = 𝐸𝐸12 + 𝐸𝐸22 + 2𝐸𝐸�⃗1 ⋅ 𝐸𝐸�⃗2 ] Il polarizzatore di fronte alla sorgente 3 viene ora…
Seconda prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 13/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:______ Le due sorgenti sono identiche per cui hanno la stessa fase e la stessa polarizzazione. Si deve quindi tenere conto dei fenomeni di interferenza sullo schermo lontano. O.1) Lo schermo è posto a distanza 𝐿𝐿 ≫ 3𝑑𝑑 per cui 𝑦𝑦 = 0 ⟺ 𝜃𝜃 = 0 (si può infatti verificare facilmente che 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 , 𝑟𝑟3 differiscono tra loro di distanze molto inferiori a una 𝜆𝜆). In questa situazione le 3 onde giungono in fase sullo schermo e quindi 𝐸𝐸𝑅𝑅 (0) = 3𝐸𝐸1 (0) Con 𝐸𝐸1 (0) campo dell’onda di una singola sorgente misurato in 𝑦𝑦 = 0. L’intensità dell’onda di una sorgente in tale punto è: 𝑃𝑃0 𝑊𝑊 𝐼𝐼1 (0) = 2 = 1.24 × 10−7 2 4𝜋𝜋𝐿𝐿 𝑚𝑚 Da cui 1 𝑉𝑉 𝑽𝑽 𝐼𝐼1 (0) = 𝜖𝜖0 𝑐𝑐𝐸𝐸12 (0) → 𝐸𝐸1 (0) = 9.68 × 10−3 → 𝑬𝑬𝑹𝑹 (𝟎𝟎) = 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 2 𝑚𝑚 𝒎𝒎 O.2) Gli sfasamenti tra le onde 1 e 2 e tra le onde 2 e 3 sono: 2𝜋𝜋 1 𝛿𝛿12 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 = ⋅ 5 ⋅ = 𝜋𝜋/2 10 2 𝛿𝛿23 = 2𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋 Le due onde provenienti dalle sorgenti 2 e 3 sono quindi in opposizione di fase quando giungono sullo schermo, l’intensità sullo schermo è quindi quella dovuta ad una singola sorgente che è posta ad una distanza Δ𝑟𝑟 = 𝐿𝐿/ cos 𝜃𝜃 dallo schermo: 𝝅𝝅 𝑃𝑃0 3 𝑰𝑰𝑹𝑹 � � = 2 cos2 𝜃𝜃 = 𝐼𝐼1 (0) ⋅ = 𝟗𝟗. 𝟑𝟑𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟔𝟔 4𝜋𝜋𝐿𝐿 4 O.3) Le due onde hanno variazioni di fase dovute al loro cammino pari a 𝜙𝜙1 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜙𝜙2 = 𝑘𝑘 (𝐿𝐿 − 𝑠𝑠) + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 La differenza di fase tra le due onde sullo schermo è 𝛿𝛿 = 𝜙𝜙2 − 𝜙𝜙1 = 𝑘𝑘 (𝑛𝑛 − 1)𝑠𝑠 = 1.508 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 L’onda 2 incontra due interfacce di…
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