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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 29/1/2013. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Si considerino due variabili aleatorie X ed Y congiuntamente continue di densit` a f(X;Y )(x, y) = α e y √x IS(x, y) dove S = {(x, y) : x > 0, y > 0, y > √x}. (a) Determinare la costante α. (b) Le variabili X ed Y sono indipendenti? (c) Calcolare le densit` a marginali di X ed Y . Sia ora W = Y − √ X (d) Verificare se W ` e q.c. ben definita. (e) Calcolare la legge congiunta di X e W . (f) Le variabili X e W sono indipendenti? (g) Riconoscere la legge di W e trovare la varianza di Y − √ X. 1 Soluzione (sintetica). (a) 1 = ∫ R2 f(X;Y )(x, y) dxdy = α ∫ +1 0 dy ∫ y2 0 e y √x dx = 2α per cui α = 1/2. (b) Le variabili X ed Y NON sono indipendenti perch´ eS non ` e un prodotto cartesiano. (c) fX (x) = ∫ +1 1 f(X;Y )(x, y) dy = ∫ +1 px e y 2√x dy I(0;+1)(x) = e px 2√x I(0;+1)(x) fY (y) = ∫ +1 1 f(X;Y )(x, y) dx = ∫ y2 0 e y 2√x dx I(0;+1)(y) = y e y I(0;+1)(y) (d) X ≥ 0 q.c. per cui W ` e q.c. ben definita. (e) Posto ( X, W ) = h(X, Y ) con h(x, y) = ( x, y − √x) per cui h ∈ C 1(S), J h(x, y) = ( 1 0 − 1 2px 1 ) , |Jh| ≡ 1, h 1(x, w) = ( x, w + √x), h (S) = {(x, w) : x > 0, w > 0}. e quindi ( X, W ) ` e vettore aleatorio continuo con densit` a f(X;W )(x, w) = e px w 2√x I(0;+1)(x) I(0;+1)(w) (f) Le variabili X e W sono indipendenti perch´ ef(X;W ) si fattorizza. (g) W ∼ E (1) per cui E[Y − √ X] = 1. 2 2. Sia N una variabile aleatoria discreta, uniformemente distribuita su {0, 1, . . . , K}, dove K ≥ 1 ` e un parametro intero. Sia poi X un’altra variabile discreta che, condizionata- mente a N = n ∈ {0, 1, . . . , K}, prende i valori 0 e n con uguale…