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Analisi Matematica II - 14 febbraio 2013 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Sia T : V → W un’applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Definire il nucleo e l’immagine di T e dimostrare che essi sono sottospazi vettoriali di V e di W rispettivamente. Esercizio 2 Dare la definizione di lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L, finito. Enunciare una condizione necessaria per l’esistenza di lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) finito. Esercizio 3 Dopo aver precisato che cosa si intende con direzione di massima crescita di una funzione f (x, y) in un punto P , si determini, sotto opportune ipotesi, da cosa ` e rappresentata tale direzione di massima crescita. Analisi Matematica II - 3 Settembre 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Sia A =   s 2 3 8 −2 −3 4 −1 t   dire per quali valori di s, t il rango di A ` e 1,2 oppure 3. Esercizio 2 . Sia f (x, y) = x + y x − y . 1. Determinare il dominio D di f e stabilire se ` e aperto, chiuso, limitato, connesso e qual ` e la sua frontiera; 2. stabilire in quale sottoinsieme di D la funzione ` e positiva; 3. stabilire se ` e possibile prolungare f per continuit` a a tuttoR2; 4. determinare le curve di livello corrispondenti a f (x, y) = 0 , 1 e −1. Esercizio 3 . Verificare che la forma differenziale φ = 3 xy dx + 5xy dy NON ` e esatta (alias: che il campo vettoriale piano Γ = 3 xyi + 5 xyj non ` e conservativo). Verificare il teorema di Gauss-Green, relativamente al semicerchio { x2 + y2 = 1 y ≥ 0 .