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Analisi e Geometria 1 Primo appello 14 F ebbraio 2017 Compito B Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte a. Scrivere la condizione di ortogonalit` a tra il piano (X−X0)· w = 0 e la retta X =P0 +tv: b. Dimostrare: Sia I f −→ R una funzione reale derivabile su un intervallo I di R. Se f′(x) < 0 in ogni punto x∈I, allora f ` e strettamente decrescente suI. c. Completare la definizione: Si dice che la successione (an) converge in R al numero L∈ R se: d. Usando la definizione di integrale generalizzato, dire per quali valori di a ∈ R l’integrale ∫ 1 0 1/xadx ` e convergente, giustificando la risposta. Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Primo appello 14 F ebbraio 2017 Compito B Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es. 1: 5 ; Es.2: 7 ; Es.3: 6 ; Es.4: 6. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare il limite: lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 4x)− 4 sinx Soluzione Perx→ 0, valgono gli sviluppi: ex2 = 1 +x2 +o(x2) cos(2 x) = 1− 2x2 +o(x3) ln(1 + 4x) = 4x− 8x2 +o(x2) sin x =x− 1 6x3 +o(x4) Dunque: lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 3x)− 3 sinx = lim x→0 1 +x2 +o(x2)− 1 + 2x2 +o(x2) 4x− 8x2− 4x +o(x2) = lim x→0 3x2 +o(x2) −8x2 +o(x2) = − 3 8 2. Si consideri la funzione f(x) = (−4x− 3)e 1 x x∈ (−∞, 0)∪ (0, +∞) (a) Trovare gli asintoti di f(x); (b) Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale di f; (c) Disegnare il grafico di f; (d) Stabilire se l’integrale generalizzato ∫ 1 0 |f(x)|dx ` e convergente o divergente. Soluzione (a) lim x→−∞ (−4x− 3)e 1 x = +∞ lim x→0−…