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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 14 Luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Siau=u(x, t) la soluzione continua del problema 8 >>>>>>>>< >>>>>>>>: @tu(x, t) @2 xu(x, t)=0, in (0,1)⇥(0,+1), u(0,t)=2te 1 2t, in (0,+1), u(1,t)=1 2te 2t+1, in (0,+1), u(x,0) = 3x2 2x3, in (0,1). a.Mostrare cheu(x, t) ` e non negativa; b.determinare una limitazione superiore peru(x, t). Soluzioni Notiamo preliminarmente che tale soluzione continua esiste, in quanto le condizioni iniziali ed al bordo sono tra di loro compatibili. a.In virt` u del principio del massimo (minimo), ` e su ciente mostrare cheu` e non negativa sulla frontiera parabolica @Q={(0,t):t 0}[{(1,t):t 0}[{(x,0) :x2[0,1]}. Questo ` e immediato in quanto u(0,t)=2te 1 2t 0,u(1,t)=1 2te 2t+1 0e u(x,0) = 3x2 2x3 0. b.Utilizzando ancora il principio del massimo, abbiamo che maxx2[0,1],t 0 u(x, t) = max(x,t)2@Q u(x, t). Dalle semplici limitazioni u(0,t)u(0,2) = 4e 1,u(1,t)u ✓ 1,1 2 ◆ =1 4e 1+1 e u(x,0) u(1,x)=1, si deduce u(x, t)max ⇢ 4e 1,1 4e 1+1,1 =4e 1,8x2[0,1],8t 0. Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann 8 >>>>< >>>>: u(x, y)=0, (x, y)2(0,1)⇥(0,1), @xu(0,y)=0,@xu(1,y)=0,y 2(0,1), @yu(x,0) = 0,@yu(x,1) = 1 2 cos2(2⇡x),x 2(0,1). a.Verificare la compatibilit` a delle condizioni al bordo; b.specificare se la soluzione di tale problema ` e unica; c.determinare una formula di rappresentazione peru(x, y). [Suggerimento: pu` o essere utile ricordare l’identit` a trigonometrica cos2#=1 2+1 2cos(2#)] Soluzioni a.Per verificare la compatibilit` a delle condizioni al bordo ` e necessario dimostrare la seguente uguaglianza Z @⌦ @nud = Z1 0 @xu(0,y)dy+ Z1 0 @xu(1,y)dy+ Z1 0 @yu(x,0)dx+ Z1 0 @yu(x,1)dx=0. Poich` e i primi tre addendi sono…