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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 14 Luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Sia u =u(x,t ) la soluzione continua del problema    ∂tu(x,t )−∂2 xu(x,t ) = 0, in (0 , 1)× (0, +∞), u(0,t ) = 2te− 1 2t, in (0 , +∞), u(1,t ) = 1 2te−2t + 1, in (0 , +∞), u(x, 0) = 3x2− 2x3, in (0 , 1). a. Mostrare che u(x,t ) ` e non negativa; b. determinare una limitazione superiore per u(x,t ). Soluzioni Notiamo preliminarmente che tale soluzione continua esiste, in quanto le condizioni iniziali ed al bordo sono tra di loro compatibili. a. In virt` u del principio del massimo (minimo), ` e sufficiente mostrare cheu ` e non negativa sulla frontiera parabolica ∂Q ={(0,t ) :t≥ 0}∪{ (1,t ) :t≥ 0}∪{ (x, 0) :x∈ [0, 1]}. Questo ` e immediato in quanto u(0,t ) = 2te− 1 2t≥ 0, u (1,t ) = 1 2te−2t + 1≥ 0 e u(x, 0) = 3x2− 2x3≥ 0. b. Utilizzando ancora il principio del massimo, abbiamo che max x∈[0,1],t≥0 u(x,t ) = max (x,t)∈∂Q u(x,t ). Dalle semplici limitazioni u(0,t )≤u(0, 2) = 4e−1, u (1,t )≤u ( 1, 1 2 ) = 1 4e−1 + 1 e u(x, 0)≥u(1,x ) = 1, si deduce u(x,t )≤ max { 4e−1, 1 4e−1 + 1, 1 } = 4e−1, ∀x∈ [0, 1],∀t≥ 0. Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann    ∆u(x,y ) = 0, (x,y )∈ (0, 1)× (0, 1), ∂xu(0,y ) = 0, ∂ xu(1,y ) = 0, y ∈ (0, 1), ∂yu(x, 0) = 0, ∂ yu(x, 1) = 1− 2 cos2(2πx), x ∈ (0, 1). a. Verificare la compatibilit` a delle condizioni al bordo; b. specificare se la soluzione di tale problema ` e unica; c. determinare una formula di rappresentazione per u(x,y ). [Suggerimento: pu` o essere utile ricordare l’identit` a trigonometrica cos2ϑ = 1 2 + 1 2 cos(2ϑ)] Soluzioni a. Per verificare la compatibilit` a delle condizioni al bordo ` e necessario dimostrare la seguente…