140204

Page 1

Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 4/2/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Nove persone salgono su un treno composto di tre vagoni e ognuna sceglie completa- mente a caso, e indipendentemente dagli altri, il vagone su cui viaggiare. Si considerino gli eventi: A = sul primo vagone salgono (esattamente) tre persone B = su ogni vagone salgono tre persone C = su un vagone salgono due persone, su un altro tre, sul rimanente quattro Si calcolino le seguenti probabilit a: 1. P(A), 2. P(B), 3. P(AjB), 4. P(BjA), 5. P(C). Soluzione. Si sceglie come spazio campionario l'insieme delle sequenze di lunghezza 9 contenenti i simboli 1 , 2, 3: ad esempio il simbolo 2 al posto 5 indica che la quinta persona  e salita sul vagone 2. La cardinalit a di tale spazio  e 39. 1. Si scelgono tre posizioni su nove, indicanti le persone che salgono sul vagone 1, e ci o si pu o fare in ( 9 3 ) modi possibili. Nelle sei posizioni restanti possono essere collocati i simboli 2 e 3 (2 6 modi possibili). Pertanto P(A) = ( 9 3 ) 26 39 = 0.2731. 2. Si scelgono tre posizioni su nove, indicanti le persone che salgono sul vagone 1; poi si scelgono altre tre posizioni sulle sei restanti, indicanti le persone che salgono sul vagone 2. In de nitiva, P(B) = ( 9 3 ) ( 6 3 ) 39 = 0.08535. 3. Poich eB  A si ha P(AjB) = P(B) P(B) = 1. 4. Poich eB  A, P(BjA) = P(B) P(A) = ( 6 3 ) 26 = 0.3125. 5. Se i vagoni fossero ssati in un dato ordine la risposta, ragionando come nel punto 2, sarebbe ( 9 2 ) ( 7 3 ) /39. Tenendo conto dei 3! modi di scegliere l'ordine dei vagoni si conclude P(C) = 3! ( 9 2 ) ( 7 3 ) 39 = 0.3841. 1 2. Sia ( Xn)n≥1 una successione di…