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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 1/7/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Si consideri il vettore aleatorio ( Z, Z2), dove Z  e una variabile aleatoria normale standard Z ∼ N (0, 1). (a) Quali sono le leggi marginali del vettore? Sono leggi continue? (b) Il vettore aleatorio ( Z, Z2)  e continuo? (c) Calcolare il valore atteso E[(Z, Z2)]. (d) Calcolare la matrice varianza Var ( (Z, Z2) ) . (e) Le variabili Z e Z2 sono scorrelate? Sono indipendenti? (f) Calcolare P(Z > Z 2). (g) Calcolare P ( ∥(Z, Z2)∥ < 1 ) . Soluzione. (a) Z ∼ N (0, 1), Z2 ∼ χ2(1), entrambe leggi continue. (b) (Z, Z2) non  e continuo: ha per supporto la parabola y = x2, che ha misura di Lebesgue nulla. (c) E[(Z, Z2)] = (0 , 1). (d) Cov(Z, Z2) = E[Z3] = 0 per cui Var ( (Z, Z2) ) = ( 1 0 0 2 ) . (e) Le variabili Z e Z2 sono scorrelate: Cov( Z, Z2) = 0. Le variabili Z e Z2 non sono indipendenti: P ( |Z| < 1, Z2 > 1 ) = P ( ∅ ) = 0 ̸= P ( |Z| < 1 ) P ( Z2 > 1 ) > 0. (f) P(Z > Z 2) = P(0 < Z < 1) = (1) − (0) = 0 .341345. (g) P ( ∥(Z, Z2)∥ < 1 ) = P ( Z2 + Z4 < 1 ) = P ( Z2 < √ 5 − 1 2 ) = P  |Z| < √ √ 5 − 1 2   = 2    √ √ 5 − 1 2   − 1 = 2 (0 .786) − 1 = 0 .568221. 1 2. Date due variabili aleatorie indipendenti X e W , con X ∼ N (µ, σ2) e con W ∼ B(p), dove µ ∈ R, σ > 0, 0 < p < 1, si consideri la variabile aleatoria prodotto Y = W X. Calcolare: (a) l'attesa E[Y ]; (b) la funzione di ripartizione FY ; se ne disegni inoltre un gra co qualitativo, limitandosi per quest'ultimo al caso µ = 0, σ2 = 1, p = 1/2; (c) la funzione caratteristica φY ; (d) l'attesa condizionata E[Y |W ]; Si risponda inoltre alle seguenti domande. (e) La variabile Y  e…