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Probabilit` a e Statistica — 15.04.2019 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e s oltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttame nte. Domanda 1. Siano X e Y due variabili indipendenti con legge gaussiana di media 0 e varianza 1. V Fz − 2X + 3 Y ha varianza 13, V Fz X − Y ha legge N (0 , 1), V Fz X + Y ha legge N (0 , 2). Domanda 2. Dire se le seguenti funzioni f : R → R sono densit` a di probabilit` a: V Fz f (x) = (1 − 2x) per 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 0 altrimenti, V Fz f (x) = e−x per 0 ≤ x < +∞ , f (x) = 0 altrimenti, V Fz f (x) = 4 x3 per 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 0 altrimenti, V Fz f (x) = x2(1 + x)3 per 0 ≤ x < +∞ , f (x) = 0 altrimenti. Domanda 3. Siano A e B due eventi tali che P (A|B) = 0.1, P (A|Bc) = 0 .5 e P (B) = 0 .2. Apporre i corretti valori di verit` a alle seguenti affermazioni: V Fz P (A ∪ B) = 0 .02, V Fz P (A) = 0 .42, V Fz A e B sono indipendenti. Domanda 4. Il tempo (in ore) richiesto per riparare una macchinario ` e distribuito con legge esponenziale di parametro λ = 1: V Fz la probabilit` a che la riparazione duri meno di 2 ore ` e 1 − e−2, V Fz la probabilit` a che la riparazione duri pi` u di 2 ore ` e e−1/2, V Fz la probabilit` a condizionale che la riparazione duri pi` u di 3 ore sapendo che ` e durata almeno 2 ore ` e 1/e . Domanda 5. Se la quantit` a di pezzi difettosi in una generica partita di 100 pezzi ` e modellata come una va- riabile aleatoria X con legge binomiale di parametri n = 100, p = 0 .01, ossia Bin (100 , 0.01), il numero di pezzi di- fettosi in 10 magazzini (indipendenti) sar` a coerentemente modellata come: V Fz la variabile aleatoria 10 X, V Fz una variabile aleatoria con densit` a normale…