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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 30/6/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Siano X, Y variabili aleatorie reali indipendenti, con leggi esponenziali aventi parametri rispettivamente λ e µ. 1. Si calcoli la funzione di ripartizione della variabile T = X/Y . 2. Determinare se T  e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit a. 3. Calcolare il valore atteso di T . 4. Trovare la legge del vettore ( X, T ). 5. Trovare la legge condizionata di X dato T = t. 6. Calcolare il valore atteso condizionato di X dato T = t. Soluzione. Il vettore aleatorio ( X, Y ) ha densit a continua fX;Y (x, y) = λe−xµe−y per x > 0, y > 0 e pari a zero altrove. 1. FT (t) = 0 per t ≤ 0. Per t > 0. FT (t) = P(X ≤ tY ) = ∫ ∞ 0 λe−x ∫ ∞ x=t µe−ydy dx = tλ tλ + µ . 2. FT  e continua, eC1 a tratti. Perci oT ammette densit a fT (t) = F ′ T (t) = λµ (tλ + µ)2 1(0;∞)(t). 3. T  e positiva conE(T ) = ∫ ∞ 0 t (t+)2 dt = +∞. 4. Poniamo U = X e notiamo che il vettore ( U, T )  e supportato in (0 , ∞) × (0, ∞) come ( X, Y ). Risulta ( X, Y ) = g(U, T ), dove g1(u, t) = u, g2(u, t) = u/t ((u, t) ∈ (0, ∞) × (0, ∞)) che ha determinante Jacobiano det ( 1 0 1 t − u t2 ) = − u t2 . Perci o (U, T ) ha densit a continua fU;T (u, t) = λe−g1(u;t)µe−g2(u;t) u t2 = λe−uµe−u=t u t2 per u > 0, t > 0 e pari a zero altrove. 1 5. Per t > 0  e la legge che ammette densit a continua u 7→ fU;T (u, t) fT (t) = e−ue−u=t u t2 (tλ + µ)2, u > 0. Si riconosce che si tratta della legge (2 , λ +  t ). 6. Tenendo conto della densit a trovata al punto precedente si ha, per t > 0, E(X|T = t) = ∫ ∞ 0 u fU;T (u, t) fT (t) du = (tλ + µ)2 t2 ∫ ∞ 0…