16 07 2012

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Soluzione dell'appello del 16 luglio 2012 1. Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni: ˙x1 = −x1 ˙x2 = x1 − 10x2 + 10u y = x1 + x2 1.1 Trovare le condizioni iniziali x(0) = [x1;0 x2;0 ] tali che il movimento libero dell’uscita yl(t) ad esse associato tende a zero in circa 0.5 unit` a di tempo. Il movimento libero dello stato ` e dato da: x1(t) = e−tx1;0 x2(t) = e−10tx2;0 + ∫ t 0 e−10(t− )e− x1;0dτ = e−10tx2;0 + 1 9 (e−t − e−10t)x1;0 da cui si ottiene yl(t) = e−tx1;0 + e−10tx2;0 + 1 9 (e−t − e−10t)x1;0 Affinch` e il movimento libero dell’uscita si esaurisca in circa 0.5 unit` a di tempo bisogna quindi porre x1;0 = 0. 1.2 Calcolare la funzione di trasferimento G(s) del sistema e dire se ` e possibile valutare le propriet` a di stabilit` a del sistema sulla base della sola funzione di trasferimento G(s). G(s) = 10 s + 10 Non ` e possibile valutare le propriet` a di stabilit` a del sistema sulla base della sola funzione di trasfe- rimento G(s) perch` e il sistema ha ordine 2 e G(s) presenta un solo polo reale negativo. Uno degli autovalori ` e quindi nascosto ed ` e necessario conoscere il segno della sua parte reale. 1.3 Il sistema con funzione di trasferimento G(s) viene retroazionato secondo lo schema classico di controllo in figura. + yyo - R(s) G(s) u Determinare la funzione di trasferimento R(s) del regolatore in modo da soddisfare le seguenti speci- fiche: i) se y◦(t) = sca(t), allora y(t) si assesta ad 1 in 0.5 unit` a di tempo senza oscillazioni ripetute; ii) il regolatore ha ordine minimo compatibilmente con il requisito i). Osserviamo innanzitutto che il problema di controllo ` e ben posto perch` e l’autovalore nascosto del sistema da controllare ` e pari a -1 e quindi ` e a parte reale strettamente negativa. Traducendo il requisito i) in…