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Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Prima prova in itinere. Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito A Gianluca Mola Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. 1. Sia f (x) = arctan( 3√x) − e 3√x + 1 ln(1 + tan 3√x) (a) Calcolare il seguente limite: lim x→0 f (x). Risposta: 0 (b) Esistono un numero K ̸= 0 e un numero α > 0 per i quali si abbia f (x) ∼ Kxα, per x → 0? In caso affermativo, determinare una tale funzione Kxα. Risposta: − 1 2 x 1 3 2. Studiare la funzione f (x) = 1 + ln x ex Insieme di definizione di f : (0 , +∞) Limiti agli estremi: lim x→0+ f (x) = −∞, lim x→+∞ f (x) = 0 Eventuali asintoti: x = 0 (asintoto verticale); y = 0 (asintoto orizzontale). Derivata prima: f ′(x) = e−x ( 1 x − 1 − ln x ) Qual ` e il pi` u grande intervallo sul qualef ` e crescente? (0, 1] Qual ` e il pi` u grande intervallo sul qualef ` e decrescente? [1, +∞) Eventuali punti di massimo locale: Eventuali punti di minimo locale: L’unico punto di massimo locale ` e x0 = 1, non ci sono punti di minimo locali. Derivata seconda: f ′′(x) = e−x ( 1 + ln x − 2 x − 1 x2 ) Studio della convessit` a e della concavit` a : f ` e concava su (0, x1), f ` e convessa su (x1, +∞), ove x1 > 1 (si deduce da un confronto grafico) Esistono punti in cui la funzione |f (x)|non ` e derivabile? La funzione |f (x)|non ` e derivabile inx2 = 1 e . . 3. Sia f (x) = { |sin x|a sin 1 x se x ̸= 0 0 se x = 0 (a) Determinare per quali eventuali a ∈R la funzione f ` e continua inx0 = 0. Risposta: f ` e continua inx0 = 0 se a > 0 (b) Usando la definizione di derivata, determinare gli eventuali a ∈R per i quali la funzione f ` e derivabile in x0 = 0. Risposta: f ` e derivabile inx0 = 0 se a > 1 4. Si consideri l’equazione (z − 1)4 = (1 − i)4 nel campo…