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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - B Aprile 2019 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [8 punti ] Sia T : R4→ R4 l’applicazione lineare tale che T (e1) =   0 1 1 1  , T(e2) =   1 2 3 4  , T(e3) =   −2 4 2 0  , T(e4) =   3 0 3 6   . (i) Scrivere la matrice di rappresentazione di T rispetto alla base canonica di R4. (ii) Determinare dim Ker(T ), dim Im(T ). (iii) Determinare una base di Ker T . (iv) Determinare una base di ImT. Svolgimento. (i) In virt` u del teorema di rappresentazione di applicazioni lineari, abbiamo che la matrice richiesta ` e A =   0 1 −2 3 1 2 4 0 1 3 2 3 1 4 0 6   . (ii) Riduciamo a scala la matrice A, operando l’eliminazione di Gauss. Abbiamo A→   1 4 0 6 1 2 4 0 1 3 2 3 0 1 −2 3  →   1 4 0 6 0 −2 4 −6 0 −1 2 −3 0 1 −2 3  →S =   1 4 0 6 0 −2 4 −6 0 0 0 0 0 0 0 0   . La matrice a scala S possiede due pivots, situati nella prima e nella seconda colonna. Pertanto rg(A) =rg(S) = 2. Dunque dim Im(T ) = 2. Inoltre, grazie al teorema di nullit` a pi` u rango, dim Ker(T ) = dim R4− dim Im(T ) = 4− 2 = 2. (iii) Per determinare una base di Ker T risolviamo il sistema lineare Ax = 0, e dunque Sx = 0. Abbiamo due variabili libere: x3 =t,x 4 =s, t,s∈ R. Le soluzioni sono x =t   −8 2 1 0   +s   6 −3 0 1  , t,s ∈ R. Pertanto una base di Ker T ` e      −8 2 1 0  ,   6 −3 0 1      . (iv) Una base di ImT ` e data dalla prima e dalla seconda colonna di A. Pertanto ` e      0 1 1 1  ,   1 2 3 4      . 1 Esercizio 2. [8 punti ] Sia A =   −1 0 −3 0 1 0 0 3 3   . Stabilire se la matrice A ` e diagonalizzabile. In caso affermativo,…