17 04 19ts

Page 1

Fondamenti di Automatica Prof. Rocco 17 Aprile 2019 SOLUZIONE Fondamenti di Automatica Proff. Luca Bascetta, Paolo Rocco e Gian Paolo Incremona Prima prova intermedia 17 aprile 2019 ESERCIZIO 1 Si consideri la rete elettrica riportata in figura: /G75 /G4C /G52/G32 /G79 /G4C /G52/G31 1. Si scrivano le equazioni del sistema che descrive la dinamica della rete. Dettax1 la corrente nel primo induttore ex2 la corrente nel secondo, la dinamica del sistema ` e retta dalle seguenti equazioni: u = L ˙x1 +R2(x1−x2) R2(x1−x2) = R1x2 +L ˙x2 y = R2(x1−x2)−R1x2 Pertanto il sistema dinamico si scrive come: ˙x1 = −R2 L x1 + R2 L x2 + 1 Lu ˙x2 = R2 L x1− R1 +R2 L x2 y = R2x1− (R1 +R2)x2 2. Posto L = 1, R1 = 3 e R2 = 2 si determini la funzione di trasferimento del sistema. Con i valori dati, si ottiene: A = [−2 2 2 −5 ] B = [ 1 0 ] C = [ 2 −5 ] Si pu` o quindi calcolare la funzione di trasferimento come: G(s) = C(sI− A)−1B = = [ 2 −5 ][ s + 2 −2 −2 s + 5 ]−1[ 1 0 ] = = 1 (s + 2)(s + 5)− 4 [ 2 −5 ][ s + 5 2 2 s + 2 ][ 1 0 ] = = 2s s2 + 7s + 6 3. Si determini il valore dell’uscita y quando l’ingresso assume il valore costante u = ¯u = 2, fornendo anche un’interpretazione fisica del risultato. Poich´ e il guadagno statico del sistema ` e nullo: G(0) =−CA−1B = 0 a fronte di un ingresso costante l’uscita ` e nulla. Si osservi che l’uscita ` e la caduta di tensione sul secondo induttore, che a regime ` e nulla, essendo l’induttore un corto circuito. 4. Si scriva l’espressione analitica dell’uscita del sistema (y(t) =... ) quando l’ingresso ` eu(t) = 2sca(t), verificando che il valore iniziale sia coerente con il teorema del valore iniziale. La trasformata di Laplace dell’uscita ha la seguente espressione Y (s) =G(s)2 s = 4 (s + 1)(s + 6) e pu` o essere decomposta, utilizzando il metodo di…