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Fondamenti di Automatica Prof. Rocco 17 Giugno 2019 SOLUZIONE Fondamenti di Automatica Proff. Luca Bascetta, Paolo Rocco e Gian Paolo Incremona Seconda prova intermedia 17 Giugno 2019 ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema di controllo di figura, con y variabile controllata e yo riferimento L(s)- yo y+ in cui L(s) = 10 (1 +s)2. 1. Si disegni il diagramma di Nyquist associato alla funzione di trasferimento d’anello L(s). Il diagramma di Nyquist di L(s) ` e mostrato in figura. 2. Si studi, utilizzando il criterio di Nyquist, la stabilit` a del sistema in anello chiuso. L(s) non ha poli nel semipiano destro, quindi Pd = 0. Dal diagramma di Nyquist si pu` o facilmente notare che il diagramma non compie alcun giro intorno al punto−1, quindi N = 0. Grazie al criterio di Nyquist, essendo N =Pd, possiamo concludere che il sistema in anello chiuso ` e asintoticamente stabile. 3. Posto L′(s) = kL(s), si spieghi, utilizzando il criterio di Nyquist, se il sistema in anello chiuso con funzione di trasferimento d’anello L′(s) ` e asintoticamente stabile per qualunque valore positivo di k. Motivare la risposta. Il diagramma di Nyquist di L(s) non taglia l’asse reale negativo in alcun punto (e il diagramma di Bode della fase di L(s) raggiunge −180◦ solo asintoticamente), possiamo quindi concludere che il margine di guadagno di L(s) ` e infinito. Essendo il margine di guadagno infinito il sistema in anello chiuso con funzione di trasferimento d’anello L′(s) ` e asintoticamente stabile per qualunque valore positivo dik. 4. Si verifichi il risultato del punto precedente utilizzando il luogo delle radici. Il luogo delle radici diretto di L′(s) = 10k (1 +s)2 = ρ (1 +s)2 ` e mostrato in figura. `E immediato verificare che i due poli, per qualunque valore di k > 0, sono sempre contenuti nel semipiano…
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