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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 18-2-2016 Esercizio 1. a. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente limite lim x→0+ (ex− 1−x)α sinx− arctanx. b. Siano z = 1−i e w = 2 +i. Calcolare lim n→+∞ zn wn . Soluzioni a. Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticit` a ex− 1−x∼ ( 1 +x + x2 2 ) − 1−x = x2 2 e sinx− arctanx∼x− x3 6 − ( x− x3 3 ) = x3 6 per x→ 0. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x→0+ (ex− 1−x)α sinx− arctanx = 6 2α lim x→0+ x−3+2α =    +∞, se α< 3 2, 3√ 2, se α = 3 2, 0+, se α> 3 2. b. Notiamo subito che ⏐⏐⏐z w ⏐⏐⏐ = √ 2√ 5 < 1, da cui deduciamo ⏐⏐⏐⏐ zn wn ⏐⏐⏐⏐ = (√ 2√ 5 )n → 0 per n→ +∞. Di conseguenza lim n→+∞ zn wn = 0. Esercizio 2. Si consideri la matrice quadrata 3 × 3 ` e: A =   0 −2 2 −2 0 2 −2 −2 4  . a. Determinare autovalori di A; b. determinare autovettori di A; c. stabilire se A ` e diagonalizzabile e, in questo caso, si esibiscano una matrice diagonale Λ ed una matrice invertibileP tali che P−1AP = Λ; d. sia v = [1, 2, 1]T . Calcolare (A3−A2)v. Soluzioni a. Abbiamo det(A−λI3) = det   −λ −2 2 −2 −λ 2 −2 −2 4 −λ   =−λ(λ− 2)2. Di conseguenza, gli autovalori di A sono λ1 = 0 (con molteplicit` a algebrica 1) e λ2 = 2 (con molteplicit` a algebrica 2). b. Per trovare gli autovettori, risolviamo i sistemi Ax = 0 ⇐⇒   0 −2 2 −2 0 2 −2 −2 4     x y z   =   0 0 0   ⇐⇒    −2y + 2z = 0 −2x + 2z = 0 −2x− 2y + 4z = 0 ⇐⇒    y =z x =y ⇐⇒    x =t y =t z =t (t∈ R) ⇐⇒ v1 =   1 1 1   auovettore relativo a λ1 = 0 e Ax = 2x ⇐⇒   −2 −2 2 −2 −2 2 −2 −2 2     x y z   =   0 0 0   ⇐⇒ −2x− 2y + 2z = 0 ⇐⇒ z =x +y ⇐⇒    x =t y =s z =t +s (t,s∈ R) ⇐⇒ v2 =   1 0 1   e v3 = …