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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 Esercizi D.1 D.2 Domande VOTO Analisi Matematica I e Geometria Secondo Appello Docenti: 18 giugno 2018 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. Esercizi Es.1. Data la funzione f(x) =x sinx + cosx , a) determinare massimi e minimi di f nell’intervallo [0, 2π] ; b) scrivere la formula di Taylor del secondo ordine di f , centrata in x0 =π , con resto secondo Peano. Svolgimento. a) La funzione ` e continua e derivabile su R e f ′(x) = x cosx . Osserviamo che sull’intervallo [0, 2π] risulta f ′(x) = 0 se x = π 2 oppure x = 3 2π ; inoltre ` ef ′(x)> 0 se x∈ ( 0,π 2 ) ∪ (3 2π, 2π ] , mentre f ′(x)< 0 se x∈ (π 2, 3 2π ) . Raduniamo queste informazioni in una tabella: 0 π 2 3 2π 2π f ′ > 0 f ′ < 0 f ′ > 0 ↗ ↘ ↗ min max min max f(0) = 1 f(π 2 ) = π 2 f(3 2π) =−3 2π f(2π) = 1 In definitiva: • in x = 0 e in x = 3 2π vi sono due minimi: x = 0 punto di minimo relativo, x = 3 2π punto di minimo assoluto; • in x = π 2 e in x = 2π vi sono due massimi: x = π 2 punto di massimo assoluto, x = 2π punto di massimo relativo. b) La funzione f ′ ` e derivabile ef ′′(x) = cosx−x sinx . Calcolati f(π) =−1 , f ′(π) =−π e f ′′(π) =−1 , da f(x) =f(x0) +f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0) 2 (x−x0)2 +o(x−x0)2 abbiamo f(x) =−1−π(x−π)− 1 2(x−π)2 +o(x−π)2. Es.2. Data la funzione f(x) = ex sinx, determinare l’area della regione limitata dall’asse x e dal grafico di f sull’intervallo [0, 2π] . Svolgimento. L’area della regione compresa tra il grafico di una funzione f e l’asse x in corrispondenza dell’intervallo [a,b ] ` e A = ∫ b a |f(x)| dx. 1 Nel nostro caso, poich´…