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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione I Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 18 luglio 2013 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . L'esercito al comando del Re oltre la Barriera è composto per lo più da Bruti, per il 20% da Giganti e per lo 0.2% da Metamor . (a) Calcolare la probabilità che, su 10 guerrieri, vi siano almeno 2 Giganti. (b) Calcolare la probabilità che, su 100 guerrieri, vi siano almeno 15 Giganti. (c) Determinare il numero minimo n∗ di guerrieri, a nché la probabilità che vi siano almeno 15 Giganti superi 0.99. (d) Calcolare la probabilità che, su 1000 guerrieri, vi siano almeno 3 Metamor . Risultati . (a) Detto X il numero di Giganti in un gruppo di 10, ovviamente X∼Binom(n = 10,p = 0.2), dunque P[X≥ 2] = 1− P[X≤ 1] = 1− [(10 0 ) 0.200.810 + (10 1 ) 0.210.89 ] ≃ 0.6242. (b) Detto X il numero di Giganti un gruppo di 100, ovviamente X∼ Binom(n = 100,p = 0.2), ap- prossimabile con una normale Norm(µ = np = 20,σ 2 = np(1−p) = 16) , dato che np = 20 > 5 e n(1−p) = 80> 5, per cui (usando la correzione di continuità) otteniamo P[X≥ 15] = P [X− 20 4 ≥ 14.5− 20 4 ] ≃ P[Z≥− 1.375] = Φ(1.375)≃ 0.915. (c) Chiamiamo Y il numero di Giganti in un gruppo di n∗, osserviamo per confronto dal punto b) che sicuramente n∗ > 100, dunque possiamo usare l'approssimazione normale e approssimare Y ∼ Binom(n = n∗,p = 0.2) con Norm(µ = 0.2n∗,σ 2 = 0.16n∗), usando la correzione di continuità, otteniamo 0.99< P[Y ≥ 15] = P [Y− 0.2n∗ √ 0.16n∗ ≥ 14.5− 0.2n∗ √ 0.16n∗ ] ≃ P [ Z≥ 14.5− 0.2n∗ √ 0.16n∗ ] , dalle tabelle, otteniamo che P[Z >−2.326]≃ 0.99, poniamo allora 14.5− 0.2n∗ √ 0.16n∗ <−2.326 ⇒ n∗≥ 124.36, occorrono dunque…