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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi Matematica II Primo appello 18 Luglio 2014 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Biomedica Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 3; Es.2: 7; Es.3: 7; Es.4: 6. Domande di teoria. 1. ( 3 pt. ) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per le serie numeriche 2. ( 2+3 pt. ) Scrivere la formula dell’integrale generale di un’ equazione lineare del primo ordine non omogenea (con dimostrazione) 3. ( 2 pt. ) Dare la definizione di differenziabilita’ in un punto per una funzione di due variabili e dire quale sia la relazione tra continuita’, derivabilita’ e differenziabilita’. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si trovi a∈ R tale che y(t) =teat ` e soluzione di t¨y−t ˙y−y = 0. 2. Si determini l’integrale generale dell’equazione differenziale ˙y = 1√xy + 1 e stabilire se esistono soluzioni tali che lim x→+∞y(x) =−∞. 3. Sia f : R→ R 2π-periodica tale che f(x) = { 2 −π≤x≤ 0 1 0 <x<π (a) Si tracci un grafico qualitativo di f nell’intervallo [−2π, 2π]. (b) Si scriva il polinomio trigonometrico di ordine 2 che meglio approssima f nel senso della norma quadratica. (c) Si stabilisca in quali punti la serie di Fourier converge puntualmente in [ −π,π ] precisando a cosa converge. 4. Stabilire se le serie seguenti sono convergenti e/o assolutamente convergenti. +∞∑ n=1 nn n!3n ; +∞∑ n=1 4n3 +n log +√n 2n4 +ne−n +n + 3