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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - A Giugno 2019 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [9 punti ] Sia f(x,y ) =x2 + y2 2 +x2y + 2. (i) Determinare i punti critici (liberi) di f e classificarli. (ii) Determinare il massimo assoluto e il minimo assoluto dif nella regione triangolare chiusa di vertici (0, 0), (1,−1), (1, 0). Svolgimento. (i) La funzione polinomiale f ` e di classeC2 in R2. I punti critici si trovano imponendo ∇f(x,y ) = (0, 0), pertanto fx(x,y ) = 2x(1 +y) = 0, f y(x,y ) =y +x2 = 0. Quindi i punti critici sono O = (0, 0),P = (−1,−1),Q = (1,−1). Per ogni (x,y )∈ R2 abbiamo Hf(x,y ) = [2 + 2y 2x 2x 1 ] . La matrice Hf(O) = [2 0 0 1 ] ` e definita positiva, dunqueO ` e un punto di minimo relativo. Le matrici Hf(P ) = [ 0 −2 −2 1 ] , H f(Q) = [0 2 2 1 ] sono indefinite, avendo determinante negativo. Pertanto i punti P e Q sono punti di sella. (ii) Nessuno dei punti critici di f, gi` a determinati, ` e interno aT . Pertanto studiamo f sulla frontiera ∂T =OQ∪QR∪OR, essendo R = (1, 0). Il segmento OQ ` e dato day =−x,x∈ [0, 1]. Poniamo ϕ1(x) :=f(x,−x) =−x3 + 3 2x2 + 2, x ∈ [0, 1]. Risulta ϕ′ 1(x) =−3x2 + 3x. Quindi ϕ′ 1> 0 in (0, 1). Pertanto ϕ1 ` e crescente in [0, 1] e max OQ f =ϕ1(1) = 5 2, min OQ f =ϕ1(0) = 2. Il segmento OR ` e dato day = 0,x∈ [0, 1]. Poniamo ϕ2(x) :=f(x, 0) =x2 + 2, x ∈ [0, 1]. Pertantoϕ2 ` e crescente in [0, 1] e max OR f =ϕ2(1) = 3, min OR f =ϕ2(0) = 2. Il segmento QR ` e dato dax = 1,y∈ [−1, 0]. Poniamo ϕ3(y) :=f(1,y ) = y2 2 +y + 3, y ∈ [−1, 0]. Pertantoϕ3 in [−1, 0] ` e crescente e max QR f =ϕ3(0) = 3, min QR f =ϕ3(−1) = 5 2. Ne segue che min T f =f(O) = 2, max T f =f(R) = 3. 1 Esercizio 2. [8 punti ] Calcolare l’integrale ∫∫ Ω (x2 +y2) dxdy,…