19 07 16

Page 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 19 luglio 2016 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . L'Ordine degli Alchimisti deve preparare 10·000 ampolle di altofuoco da 450 cc ciascuna. In realtà in ogni ampolla viene versata una quantità X di sostanza che vale 450 cc solo in media, ma che per il resto è casuale, con una distribuzione gaussiana, la cui deviazione standard σ dipende dalla precisione del processo di produzione. Una ampolla è considerata ben preparata se 448 cc ≤X≤ 452 cc. 1. Calcolare, in funzione di σ, la probabilità che una ampolla risulti ben preparata. 2. Quanto deve valere σ se gli Alchimisti vogliono che tale probabilità sia almeno del 99%? Gli alchimisti ottengono il valor critico σ0 che rende la probabilità considerata esattamente pari al 99%. 3. Con quale probabilità vengono versati più di 452 cc in un'ampolla? Alla ne gli Alchimisti producono ben 13·000 ampolle di altofuoco, grazie ad un aumento del loro potere che non si vedeva dalla scomparsa dei draghi. Le quantità di sostanza versate nelle diverse ampolle sono tutte indipendenti. Sia N il numero di ampolle ben preparate sulle 13·000 prodotte. 4. Qual è la distribuzione di N ? 5. Con quale probabilità ci saranno almeno 12·850 ampolle ben preparate? 1 Risultati. 1. Ponendo Z = X− 450 σ ∼N(0, 1) si trova P(448 cc ≤X≤ 452 cc ) = P ( |Z|≤ 2 cc σ ) = 2 Φ (2 cc σ ) − 1 2. 2 Φ (2 cc σ ) − 1≥ 0.99 ⇐⇒ Φ (2 cc σ ) ≥ 0.995 ⇐⇒ 2 cc σ ≥z0.005 = 2.576 ⇐⇒ σ≤ 0.7764 cc 3. Per simmetria, essendo 450 il punto medio di [448, 452], si ha P(X >452 cc ) = 1− P(448 cc ≤X≤ 452 cc ) 2 = 0.005 4. N∼B(13·000, 0.99). 5.…