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19.7.2016 — Esercizi Esercizio 1 Si consideri il seguente gioco. Viene lanciata una moneta (bilanciata) e poi due dadi (bilanciati): se esce testa nel lancio della moneta, si vince se la somma dei due dadi vale 3; se esce croce, si vince se la somma dei due dadi vale 7. 1.1 Si calcoli la probabilit` a di vincere. Soluzione: 1 9. 1.2 Si calcoli la probabilit` a che il risultato della moneta fosse testa sapendo che il gioco ` e stato vinto. Soluzione: 1 4. 1.3 Si fanno 300 partite. Calcolare la probabilit` a (in modo approssimato) di vincere almeno il 10% delle volte. Soluzione: 0.7580 1.4 Supponiamo di ripetere il gioco fino a quando non si vince per la prima volta. Quante volte occorre ripetere in media il gioco? Soluzione: 9 Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria con densit` a di probabilit` a fθ(x) = θ xθ+1 I[1,+∞)(x) con θ> 1 parametro incognito. 2.1 Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per θ basato su un campione ( X1,X 2,...,X n) estratto da popolazione con densit` afθ. Soluzione: n∑n i=1 log(Xi) 2.2 Determinare lo stimatore del metodo dei momenti per θ basato su un campione ( X1,X 2,...,X n) estratto da popolazione con densit` afθ. Soluzione: X X− 1 2.3 Sulla base del campione x1 = 1.2, x2 = 1.5, x3 = 2.1, calcolare le stime puntuali per θ ottenute con il metodo della massima verosimiglianza e con il metodo dei momenti. Soluzione: ML: 2.25; Momenti: 2.67 2.4 Sulla base del campione x1 = 1.2,x2 = 1.5,x3 = 2.1, calcolare le stime puntuali per E [X1] ottenute con il metodo della massima verosimiglianza e con il metodo dei momenti. Soluzione: ML: 1.8; Momenti: 1.6 Esercizio 3 `E noto che la durata t (in minuti) di una reazione chimica possa essere abbreviata aggiungendo al composto una quantit` ax (in grammi) di un reagente. Il legame ipotizzato ` e…