19luglio2018

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Analisi Matematica II - 19 luglio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : R2→ R. Enunciare una condizione sufficiente affinch´ e il luogo degli zeri di f, ossia l’insieme dei punti ( x,y ) tali che f(x,y ) = 0, coincida con il grafico di una funzione ϕ : R→ R (teorema della funzione implicita globale, 2 punti). Domanda 2 Sia A⊂ R2 un insieme aperto e f : A→ R. Cosa significa che f ∈ C1(A) e cosa significa che f ` e differenziabile inA (1+1 punti). Dimostrare che f ∈ C1(A) implica f differenziabile in A (2 punti). Domanda 3 SiaA⊂ Rn un insieme aperto e f :A→ Rn una funzione di classeC1. Si consideri il sistema autonomo y′ =f(y). Si definisca una funzione di Liapunov per il sistema (2 punti). Analisi Matematica II - 19 luglio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia a> 0 e si considerino le funzioni f(x,y ) =x2 +y2, g (x,y ) =xa +ya− 1. Si determinino i punti di massimo e di minimo della funzione f(x,y ) vincolata all’insieme {(x,y )∈ R2 : g(x,y ) = 0} (6 punti). Esercizio 2 (6 punti). Si calcoli ∫ Σ x3ezdσ dove Σ ` e la porzione di superficie del cilindro di equazionex2 +y2 = 1, delimitata dai pianiz = 0 e z = 1, contenuta nel semispazio x≥ 0. Esercizio 3 . Si determini l’integrale generale del sistema (6 punti). { x′ = 2x +y + 1 y′ =x + 2y. Esercizio 4 . Si studi il problema di Cauchy { y′ = 1 t+1 + 1 y y(0) = 1 nel semipiano t≥ 0. In particolare: 1. Valgono i teoremi di esistenza e unicit` a in piccolo/in grande? (1 punto) 2. Si determinino le regioni dove la soluzione ` e crescente/decrescente (1 punto). 3. Si determinino le regioni dove la…