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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2018/2019 V Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 5 febbraio 2020 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1. Quando un assaltatore imperiale si esercita al tiro a segno col suo folgoratore E-11, la distanza X fra il centro del bersaglio ed il punto colpito dal laser è una variabile aleatoria esponenziale di media (fissate opportunamente le unità di misura) pari ad 1. In realtà i poligoni imperiali considerano “centro” ogni colpo conX≤ 1, per cui la distanza ufficial- mente registrata è Y = { 0, se X≤ 1, X, se X≥ 1. 1. Calcolare la probabilità che un poligono imperiale riporti come “centro” l’esito di un colpo sparato da un assaltatore imperiale al tiro a segno. 2. Calcolare la distribuzione diY, disegnando il grafico della funzione che si è scelto di calcolare. 3. La variabileY è discreta? È continua? 4. Calcolare E[Y ], il valore atteso diY, e confrontarlo conE[X]. 5. Calcolare Var(Y ), la varianza diY, e confrontarla conVar(X). 6. Se il poligono imperiale riportaY = 0, quanto vale la probabilità diX <0.1. 1 Risultati. 1. P(Y = 0) = P(X≤ 1) = 1− e−1 = 0.6321. 2. Possiamo caratterizzare la distribuzione diY con la sua funzione di ripartizione FY (t) = P(Y ≤t) =    0, se t< 0 1− e−1, se 0≤t< 1 1− e−t, se t≥ 1. 3. La variabileY non è discreta perché la somma dei suoi salti fa1− e−1 < 1. La variabileY non è continua perchéFY non è continua. 4. Possiamo calcolareE[Y ] usando la densità diX applicando la regola del valore atteso adY =h(X): E[Y ] = ∫ 1 −∞ 0fX (s) ds + ∫ +∞ 1 sf X (s) ds = ∫ +∞ 1 s e−s ds = 2e−1 = 0.7358< 1 = E[X]. La disuguaglianza era scontata, dato cheY ≤X q.c. 5.…