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FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 11/7/2018 COGNOME:______________________ NOME: ______________________ MATRICOLA o CODICE PERSONA: ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza espositiva. 1) Un fondo previdenziale suddivide i propri aderenti in tre classi, in base alla loro età: (1) da 20 a 40 anni, (2) da 40 a 60 anni, (3) oltre 60 anni. Gli aderenti di classe (1) e (2) versano ogni anno al fondo, rispettivamente, 2000 e 3000 euro, mentre quelli di classe (3) percepiscono dal fondo β euro all’anno. Ogni anno, una certa frazione ijα di aderenti di classe i passa, per ragioni anagrafiche, alla classe j ( iiα è quindi la frazione che rimane nella classe i ). I coefficienti ijα sono riportati nella tabella seguente. [ ]           = 6.000 1.08.00 005.09.0 ijα Infine, ogni anno il fondo recluta un certo numero di nuovi aderenti, esclusivamente di classe (1). a) Descrivere l’evoluzione nel tempo della popolazione degli aderenti al fondo previdenziale mediante un sistema a tempo discreto, in cui u (t) sia il numero di nuovi aderenti nell’anno t e y(t) sia il numero complessivo di aderenti al fondo. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico proposto al punto 1. c) Determinare, per ciascuna classe anagrafica, il numero di aderenti al fondo nel lungo periodo, nell’ipotesi che il numero di nuovi aderenti sia pari a 1000 ogni anno. d) Aggiungere al modello un’ulteriore equazione di stato, la quale rappresenti…