2021 11 08 prima prova

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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere – 8 Novembre 2021 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Punteggio T otale: Nr. di iscrizione: 1. (1 affermazione corretta, 1 punto) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) In R, una successione di numeri razionali non può convergere a √ 2. ⃝ (b) Se x,y∈ R, x<y , esistec∈ Q tale chex<c<y . ✓⃝ (c) Se x,y∈ R, x<y , esistec∈ Z tale chex<c<y . ⃝ (d) In R, ogni successione convergente è monotòna. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 2. (1 affermazione corretta, 1 punto) Siano(an), (bn) le successioni reali definite (pern intero positivo) nel modo seguente:an =n loge ( 1 + 1 n ) , bn = ( 1− 1 2n )n . (a) lim n→+∞ an = +∞ e lim n→+∞ bn = 1 ⃝ (b) lim n→+∞ an = 0 e lim n→+∞ bn = e 2 ⃝ (c) lim n→+∞ an = 1 e lim n→+∞ bn = 0 ⃝ (d) lim n→+∞ an = 1 e lim n→+∞ bn = e−1/2 ✓⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 3. (1 affermazione corretta, 1 punto) Poniamo:C f −→ C, f (z) = z4 per ogniz∈ C. (a) Esiste un elemento nel codominio che ha esattamente 2 controimmagini. ⃝ (b) Esiste un elemento del codominio che ha infinite controimmagini. ⃝ (c) f è invertibile. ⃝ (d) f è suriettiva. ✓⃝ (e) f è iniettiva. ⃝ 4. (1 affermazione corretta, 1 punto) Consideriamo il numero complessoz = (1− i)6 (1 + i √ 3)2. (a)|z| = 2 ✓⃝ (b)|z| = 1 2 ⃝ (c) argz = π 4 ⃝ (d) argz = π 2 ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 1 5. (1 affermazione corretta, 1 punto) Siano I ⊆ R un intervallo, I f −→ R una funzione continua,J =f (I) l’immagine dif. (a) Se I è limitato superiormente, alloraJ è limitato superiormente. ⃝ (b) Se J = R, f è invertibile. ⃝ (c) f assume massimo assoluto e minimo assoluto. ⃝ (d) J è un intervallo. ✓⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 6. (1 affermazione…