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Corso di Probabilit` a e Statistica Appello 2: 20 giugno 2024 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 Risolvere i seguenti problemi indicando il procedimento seguito. Studenti DSA: saltare i punti c), d) ed e) dell’Esercizio 2. Esercizio 1 Mario ` e allergico alle noci, ma, siccome la sua coinquilina Maria ne era ignara, ha mischiato nel contenitore dei biscotti 30 biscotti contenenti farina di noci nell’impasto e 70 senza noci. Le due tipologie di biscotti sono indistinguibili ad occhio. Mario pesca due biscotti a caso dalla scatola. 1. Calcolare la probabilit` a che nessuno dei due biscotti contenga le noci. 2. Calcolare la probabilit` a che solo uno dei due biscotti contenga le noci. 3. Calcolare la probabilit` a che almeno uno dei due biscotti contengano le noci. Soluzione Definiamo gli eventi Ni :={l’i-esimo biscotto estratto contiene le noci}. 1. P(Nc 1∩Nc 2) = P(Nc 2|Nc 1)P(Nc 1) = 69 99· 70 100≈ 0.488. 2. Dalla simmetria del problema, la probabilit` a da calcolare in questo caso ` e data da 2 P(N1∩Nc 2) = 2P(Nc 2|N1)P(N1) = 2· 30 99· 70 100≈ 0.424. 3. P(N1∪N2) = 1− P(Nc 1∩Nc 2)≈ 0.512. 1 Esercizio 2 Si consideri un campione casuale X1...X n di variabili aleatorie assolutamente continue con densit` a fθ(x) = { c(θ) se − √ θ≤x≤ √ θ 0 altrimenti , doveθ ` e un parametro reale positivo ec(θ) ` e una funzione diθ. a) Si stabilisca l’espressione esplicita di c(θ) affinch` efθ sia una densit` a assolutamente continua per ogni valore di θ. b) Calcolare E[Xi]. c) Calcolare Var [Xi]. d) Si proponga uno stimatore non distorto per θ costruito usando le seguenti statistiche (non vanno necessariamente usate entrambe): Xn := 1 n n∑ i=1 Xi, X2n := 1 n n∑ i=1 X2 i. e) Si calcoli…