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Analisi Matematica II - 21 luglio 2015 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giusti cate. La prova di teoria viene valutata nel suo com- plesso. Domanda 1 . i) Sia V uno spazio vettoriale su R e siano v1; :::; vk k vettori di V . Dire che cosa signi ca che essi sono linearmente indipendenti. ii) Fare un esempio di spazio vettoriale V su R e di 3 vettori di V che siano linearmente dipendenti ma che siano linearmente indipendenti a due a due. i) Si veda un libro di testo. ii) Basta prendere tre vettori che non siano multipli uno dell'altro (il che signi ca che sono a due a due linearmente indipendenti) e tali che il terzo sia la somma dei primi due (il che signi ca che i tre vettori sono linearmente dipendenti). Un esempio in R3  e il seguente: [1; 0; 1]T , [0; 1; 0]T , [1 ; 1; 1]T . Domanda 2 i) Dare la de nizione di campo vettoriale conservativo. ii) Enunciare un criterio necessario e sufficiente affinch e un campo vettoriale sia conservativo. Si veda un libro di testo. Domanda 3 Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat per funzioni in due variabili. Si veda un libro di testo. Analisi Matematica II - 21 luglio 2015 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giusti cate. Esercizio 1 . (7 punti) Sia M = 2 4 2 1 k + 1 3 0 k 0 1 k 1 1 0 3 5, e sia T : R4 ! R3 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto alle basi canoniche, dalla matrice M . i) Trovare gli eventuali valori di k per i quali T  e iniettiva. ii) Trovare gli eventuali valori di k per i quali T  e suriettiva. iii) Discutere l'esistenza e il numero di soluzioni del sistema lineare Ax = b, dove A = 2 4 2 1 k + 1 0 k 0 k 1…