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24 giugno 2021 — Esercizi Esercizio 1 Alle primarie per il voto del leader di uno schieramento politico si presentano due candidati: Rossi e Bianchi. Da precedenti elezioni dello stesso tipo ` e emerso che 3/5 dei votanti sono di sesso maschile. Inoltre recenti sondaggi prevedono che 2 /3 della popolazione femminile voter` a Bianchi mentre 3/4 della popolazione maschile voter` a Rossi. 1.1 Calcolare la probabilit` a che Rossi ha di vincere le elezioni. Soluzione: Si considerino gli eventi: M :=“la scheda ` e stata compilata da un maschio” e R :=“la scheda contiene un voto per rossi”. Risulta: P(M) = 3/5, P(Rc|Mc) = 2/3 e P(R|M) = 3/4. Quindi P(R) = P(R|M)P(M) + P(R|Mc)P(Mc) = 3 4· 3 5 + ( 1− 2 3 )( 1− 3 5 ) = 7 12. 1.2 Bianchi vince le elezioni e si riscontra che: il 4/5 dei votanti ` e risultato essere di sesso maschile, 1/3 della popolazione femminile votante ha votato per Rossi ed 1/2 della popolazione maschile votante ha votato per Bianchi (non ci sono state schede nulle). Avendo estratto a caso una scheda dall’urna che contiene tutti i voti e avendo riscontrato che tale voto ` e a favore di Bianchi, si calcoli la probabilit` a che la scheda sia stata compilata da un maschio. Soluzione: Osserviamo che estrarre un elettore a caso o estrarre una scheda a caso sono esperimenti equivalen- ti (identifichiamo ogni elettore con la propria scheda). PertantoP(M) = 4/5, P(R|Mc) = 1/3 e P(R|M) = 1/2. Si ha quindi P(M|Rc) = P(Rc|M)P(M)/(P(Rc|M)P(M) + P(Rc|Mc)P(Mc)) = 1 2· 4 5 /(1 2· 4 5 + ( 1− 1 3 )( 1− 4 5 )) = 3 4. 1.3 Estratto a caso un elettore dei votanti, qual ` e la probabilit` a che sia di sesso maschile ed abbia votato per Rossi? Soluzione: Analogamente P(R∩M) = P(R|M)P(M) = 1 2· 4 5 = 2 5. Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria discreta di distribuzione data da:…