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Probabilit` a e Statistica — 27.08.2021 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Sia X∼N (2, 4). Allora V Fz 1 2X− 2∼N (0, 1). V Fz 1 2X− 2∼N (0, 2). V Fz P(X <t)> 0 per ogni t∈ R Domanda 2. Siano X una variabile aleatoria di de- viazione standard σ e a,b due numeri reali. Quali delle seguenti ` e necessariamente vera (per ognia,b∈ R eσ >0 )? V FzVar (aX +b) =aVar (X) +b V Fz Var (aX +b) =a2Var (X) V FzLa deviazione standard di aX +b ` e uguale aaσ. Domanda 3. Sia, per ogni γ∈ (0, 1), I(γ) = ( 20.1−t 1+γ 2 ,199 √ 0.03 200, 20.1 +t 1+γ 2 ,199 √ 0.03 200 ) la realizzazione di un intervallo di confidenza per la media µ, basato un campione casuale X1,...,X 200 estratto da N (µ,σ 2). Allora: V Fz I(γ1)⊂I(γ2), quando γ1 <γ 2. V FzI(γ1)⊃I(γ2), quando γ1 <γ 2. V FzNessuna delle altre risposte ´ e corretta Domanda 4. Siano X ed Y due variabili aleatorie discrete tali che: P (X = 1) = P (X = −1) = 1 2 e P (Y = 1) = P (Y = 0) = P (Y =−1) = 1 3. Siano FX ed FY le rispettive funzioni di ripartizione. Alloa V FzFX(t)≤FY (t), per ogni t∈ R. V Fz E(X) =E(Y ). V FzFX(t)≥FY (t), per ogni t∈ R. Domanda 5. Sia X1...X n un campione estratto da X∼Geom(p), p∈ (0, 1) parametro incognito. Allora: V Fz Xn ´ e uno stimatore corretto di1 p. V Fz X1 ´ e uno stimatore corretto di1 p. V Fz ¯Xn ´ e uno stimatore corretto di1 p. Domanda 6. Sia X1...X n un campione estratto da X∼N (µ,σ 2) e siano ¯Xn e S2 n = 1 n−1 ∑n−1 k=1(Xk− ¯Xn)2 la media e la varianza campionaria. Allora vale che: V Fz ¯Xn e S2 n = 1 n−1 ∑n k=1(Xk − ¯Xn)2 sono indipendenti. V Fz ¯Xn eS2 n = 1 n−1 ∑n k=1(Xk− ¯Xn)2 hanno la…