22 02 2011

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Esame di Analisi Matematica II (Ingegneria Informatica) Soluzioni 22 Febbraio 2011 Esercizio 1 Sia f(x,y ) = log ( x(x2 +y2 + 2y) ) (a) Determinare e disegnare nel piano il dominio della funzione f; (b) Determinare gl’insiemi di continuit` a e di differenziabilit` a dif; (c) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (2, 1,f (2, 1)); (d) Determinare gli eventuali punti stazionari di f, quindi determinare sup f, inf f e stabilire se sono massimo e minimo. Soluzioni: Il dominio della funzione ` e costituito dall’unione della regione esterna alla circon- ferenza unitaria con centro in (0 ,−1) nel semipiano delle ascisse positive e dall’interno della stessa semicirconferenza nelle asciesse negative. Chiaramente la funzione ` e di classe C∞ nel suo dominio. Si ha ∇f = ( 3x2 +y2 + 2y x(x2 +y2 + 2y), 2(y + 1) (x2 +y2 + 2y) ) da cui l’unico punto stazionario ` e (−1/ √ 3,−1) (che risulta essere un massimo locale) e si ha che supf = +∞, inff =−∞. L’equazione del piano tangente ` e:z = log 14 + 15 14(x− 2) + 4 7(y− 1). Esercizio 2 (a) Enunciare un criterio di convergenza per le serie di Fourier; (b) Sviluppare in serie di Fourier di soli seni l’estensione 2π-periodica della funzione f(x) =x2, x∈ [0,π ); (c) Si discuta la convergenza puntuale ed uniforme della serie ottenuta nel precedente punto. 1 Soluzione: La serie di Fourier della funzione dispari ha come coefficienti dei soli seni bn = 2 π ∫ π 0 x2 sin(nx)dx = 2 π ( −x2 cos(nx) n + ∫ π 0 2xcos(nx) n )⏐⏐⏐⏐ π 0 = 2 π ( −π2 (−1)n n + 2 cos(nx) n3 ⏐⏐⏐⏐ π 0 ) =−2(−1)nπ n + 4 πn3 ((−1)n− 1) La convergenza della serie ` e uniforme nei sottointervalli non contenenti i punti π + 2kπ, k∈ Z, dove la serie converge puntualmente a zero. Esercizio 3 (a) Enunciare il teorema di struttura delle soluzioni di un’equazione…