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Corso di Probabilit` a e Statistica Appello 5 - 18-02-2022 Nome e cognome: Matricola: © I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 ATTENZIONE: PER I PROBLEMI A-B-C SONO SUFFICIENTI I RISULTATI NUMERICI FINALI, MENTRE PER IL PROBLEMA D FORNITE LA SOLUZIONE ESTESA Problema A. Giovanni per vincere deve colpire 4 bersagli con 8 proiettili. Giovanni ` e inesperto, colpisce un bersaglio con probabilit´ a1 2, indipendentemente dall’ esito degli altri tiri. a. Qual ` e la probabilit` a che colpisca almeno un bersaglio? b. In media quanti bersagli riesce a colpire Giovanni? c. Qual ` e la probabilit` a che gli avanzino proiettili, ovvero che vinca prima dell’ultimo tiro disponi- bile? Soluzione: Sia X il numero di bersagli colpiti da Giovanni in 8 tiri, X ha legge binomiale di parametri n = 8 e p = 1 2. Quindi: a. P (”Giovanni colpisce almeno un bersaglio”) = 1 − P (X = 0) = 1 − 1 28 ≃ 0.996. b. E(X) = 4. c. Siano X1, . . . , X7 le variabili che segnano gli esiti dei primi 7 tiri di Giovanni ”Giovanni avanza almeno un proiettile”= ( X1 + · · · + X7 ≥ 4). X1 + · · · + X7 = Y ∼ Binom(7, 1 2). Quindi P (”Giovanni avanza almeno un proiettile”) = P (Y ≥ 4) =P7 k=4 7 k
1 27 = 0.5. Problema B . Per una specie di saraghi pizzuti, gli esemplari appena nati hanno probabilit` a di sopravvivere ai primi tre mesi pari a 1 7 indipendetemente l’uno dagli altri. Quelli che sopravvivono ai primi 3 mesi, hanno una probabilit` a pari a 1 3 di superare il primo anno. a. Qual ` e la probabilit` a che un esemplare soppravviva al primo anno? b. Se un sarago non supera l’anno, con quale probabilit´ a non aveva superato gi´ a i primi 3 mesi? c. Calcolare approssimativamente il minimo numero di esemplari da monitorare dalla nascita…