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Probabilità e Statistica  10/06/2022 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test è considerata valida se e soltanto se tut- ti i valori di verità relativi sono stati indicati correttamente. Gli studenti con DSA sono tenuti a rispondere solamente alle prime 7 domande. Domanda 1. Sia X1, . . . , Xn un n campione della den- sità N(µ, σ2) (parametri non noti) con n ≥ 3 e X n, S2 n la media e la varianza campionaria. Apporre i corretti valori di verità alle seguenti aermazioni: V Fz la varianza campionaria è data da S2 n = 1 n−1 Pn k=1(Xk − X n)2 V Fz Cov (X1 + bXn, aX1 + Xn−1) = aσ2 per ogni coppia di numeri reali a, b, V F z 1 n−1 Pn i=1 X2 i è uno stimatore non distorto di σ2 V Fz X n ha densità normale N(µ, σ2/n). Domanda 2. Siano X1 e X2 due variabili aleatorie con densità di Bernoulli con parametri rispettivi p1 e p2 Indicare l'unica risposta corretta E [X1(1 − X2)] = p1(1 − p2) z E [X1(1 − X2)] = p1(1 − p2) solo nel caso in cui P{ X1 = 1, X2 = 0} = p1(1 − p2) se Var [X1] = Var [X2] allora p1 = p2. Domanda 3. Siano A, B due eventi con P (A) = 1/2 e P (B) = 1/3. V F z P (A − B) = P (A) − P (B), V F z B ⊆ A , V Fz P(A ∪ B) ≥ 1/2 V F z A e B sono indipendenti. Domanda 4. Sia X una variabile aleatoria la cui funzione di ripartizione FX ha il gra co disegnato in gura. - 6 1 2 1 3 2 2 0.2 0.5 0.75 0.8 1 Apporre i corretti valori di verità V F z P{X = 1} = 0.75 V Fz P{X = 1} = 0.25 V Fz P{X < 1} = 0.5 V F z E[X] = 2 Domanda 5. Sia X1, . . . , Xn un n campione della den- sità N(µ, σ2) (parametri non noti), X n e S2 n la media e la varianza campionaria. La statistica test per veri care l'ipotesi  H0 : µ = µ0 contro l'alternativa  H1 : µ < µ 0 è (indicare l'unica risposta corretta) √n(X n…