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Probabilità e Statistica — 29.08.2022 Cognome Nome Matricola La risposta a ciascuno dei 10 test è considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verità relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Siano A1, A2 e A3 tre eventi, tali che P (A1) = 1 2, P (A2) = 1 4 e P (A3) = 1 8. Allora vale sempre che V Fz P (A1 ∩ A2 ∩ A3) ≤ 1 4 V Fz P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1 8 V Fz P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3) Domanda 2.La probabilità che un elettore cambi idea è 5/12; tuttavia, dopo aver sentito un comizio di Cetto La Qualunque la probabilità di cambiare idea diventa 1/3. Sapendo che la probabilità di cambiare idea senza aver ascoltato un comizio di Cetto La Qualunque è1/2, quan- to vale la probabilità che un elettore abbia ascoltato un comiziodiCettoLaQualunquedatochehacambiatoidea? V Fz 2 3; V Fz 2 5; V Fz 13 15; V Fz 1 2; V FzNessuna delle precedenti altre risposte è sempre vera. Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria continua con densità f e sia Y = X 2. Allora si ha che: V Fz E[Y ] = (E[X])2; V Fz E[Y ] = R x(fX(x))2dx; V Fz E[Y ] = R x(fX(x)
2 dx; V Fz E[Y ] = R x2fX(x)dx; V Fz E[Y ] = R (fX(x))2dx. Domanda 4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con massa (o densità) congiunta: (x,y) (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (0,0) (1,1) p(x,y) 1 4 1 8 1 4 1 4 1 8 Vale che: V Fz Cov(X, Y ) = 0 V Fz X 2 e Y 2 NON sono indipendenti. V Fz Y 2 ∼ Be( 3 4) V Fz V ar(X 2) = 0 Domanda 5.In un test d’ipotesi per la media a varian- za nota conH0 : µ ≥ µ0 e H1 : µ < µ 0 si rifiuta H0 ad un livello α = 0.05 in corrispondenza ad un campione di am- piezza n. Si prenda ora un campione di ampiezzam > n tale che xm = xn; cosa succede al P − value α? (Sugg: scrivere la regione di rifiuto e ricordarsi cheϕ(x) < 1/2 se e solo sex < 0.) V FzNon cambia. V…