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Corso di Probabilit` a e Statistica 2021-2022 Appello 4 - 20-01-2023 Nome e cognome: Matricola: ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 ATTENZIONE: PER I PROBLEMI A-B-C SONO SUFFICIENTI I RISULTATI NUMERICI FINALI, MENTRE PER IL PROBLEMA D FORNITE LA SOLUZIONE ESTESA Problema A. Un dispositivo ` e dotato di 3 sensoria, b e c. Il sensore a ` e difettoso con probabilit` a 0,15, b con probabilit` a 0,05 ec con probabilit` a 0,08. I guasti dei tre sensori sono indipendenti e il dispositivo funziona se almeno due dei sensori funzionano. Indichiamo con A l’evento ”il sensore a ` e difettoso”,B l’evento ”il sensore b ` e difettoso” eC l’evento ”il sensore c ` e difettoso”. a. Calcolare la probabilit` a dell’eventoA ∩ B ∩ C (cio` e dell’evento ”a e b stanno funzionando e c ` e difettoso ”). b. Esprimere in termini di A, B, C e dei loro complementari l’evento ”il dispositivo funziona”. c. Calcolare la probabilit` a che il dispositivo funzioni. d. Sapendo che il dispositivo funziona, qual ` e la probabilit` a che il sensorec sia difettoso? Soluzione: Gli eventi A, B e C sono indipendenti e si ha: P(A) = 0, 15, P(B) = 0, 05, P(C) = 0, 08 a. P(A ∩ B ∩ C) = 0, 85 × 0, 95 × 0, 08 = 0, 0646 b. Sia D l’evento ”il dispositivo funziona”. Si ha D = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) c. Gli eventi A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C e A ∩ B ∩ C sono disgiunti. Quindi si ha P(D) = P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) = 0, 9777 d. P(C|D) = P(C∩D) P(D) = P(A∩B∩C) P(D) = 0, 066 Problema B . Una moneta bilanciata viene lanciata tre volte. Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero di teste ottenute. a. Determinare la densit` a discreta di probabilit` a diX. b. Calcolare E(X),…