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Probabilit` a e Statistica — 20.01.2023 Cognome Nome Matricola La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto setutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Sia X1, X2, .. una successione di variabili aleatorie indipendenti con densit` aN (0, σ2). Si considerano X n = 1 n(X1 + · · ·+ Xn) e S2 n = 1 n Pn−1 k=1(Xk − X n)2. Allora vale che V Fz S2 n ∼ N (0, σ2 n ), V Fz 1√n(X1 + · · · + Xn) ∼ N (0, 1), V Fz 1 n Pn k=1 X2 k ` e uno stimatore non distorto diσ2. V Fz 1 n−1 Pn k=1 X2 k ` e uno stimatore non distorto diσ2. Domanda 2. Sia X una variabile aleatoria la cui fun- zione di ripartizione FX ` e disegnatain parte in figura. FDR.png Apporre i corretti valori di verit` a V Fz X ` e una variabile continua. V Fz P(X > 0) = 1 V Fz P(X > 3) = 0.3 V Fz E[X] > 0. Domanda 3. Siano X, Y due variabili aleatorie indipen- denti con densit` a di BernoulliB(p) e siano S = min (X, Y ), T = max (X, Y ). Allora V Fz S ` e una Bernoulli di parametrop2. V Fz T ` e una Bernoulli di parametro (p − 2)p V Fz T + S ` e una BinomialeB(2, p). V Fz S e T sono indipendenti. Domanda 4. Sulla base di un campione casuale x1, . . . , xn da popolazione normale N (µ, σ2) con µ e σ2 entrambe incognite abbiamo verificato l’ipotesi H0 : µ = 0 contro H1 : µ ̸= 0 con significativit` aα = 4.2% e abbiamo RIFIUT A TOH0. Inoltre il nostro campione ha fornito: xp s2x/n = 3.3. Allora V Fzil p-value pu` o essere sia strettamente minore sia strettamente maggiore di 4 .2%, V Fz il p-value ` e sicuramente minore o uguale di 4.2%, V Fzil p-value ` e sicuramente maggiore o uguale di 4.2%, V Fzil p-value vale 3.3. Domanda 5. Sia X1, X2, . . . una successione di variabili aleatorie indipendenti con densit` aU([0, 1]) e X n = ( X1+ · · ·+ Xn)/n. La legge debole…