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Probabilità e Statistica  17.02.2023 Cognome Nome Matricola La risposta a ciascuno dei 10 test è considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verità relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Un sistema S è costituito dai tre compo- nenti A, B e C posti in serie cosicché il sistema funziona se e solo se tutti e tre i componenti A, B, C funzionano. De niamo A =  Il componente A funziona , B= Il com- ponente B funziona , C =  Il componente C funzio- na , S=  Il sistema S funziona  e in generale Ec indica l'evento complementare a E (o negazione di E). Vale che: V Fz S∁ = A∁ ∪ B∁ ∪ C ∁ V Fz S∁ = (A ∩ B ∩ C)∁ V F z S∁ = A ∪ B ∪ C V F z S∁ = A∁ ∩ B∁ ∩ C ∁ Domanda 2. L' intervallo bilatero di con denza al 99% per la media µ di una popolazione gaussiana X ∼ N(µ, 16) costruito su un campione di dimensione n = 9 è lungo 6.87. V F z la lunghezza l dell'intervallo bilatero al 95%, se la numerosità del campione è sempre n=9 , supera 6.87. V F z la lunghezza l dipende dall'osservazione (x1, . . . , xn). V F z la stima puntuale ¯xn della media µ non può valere 16. V Fz se n = 16 allora la lunghezza l16 dell'intervallo di con denza al 99% è: l16 = 6.87 ∗ 3 4 . Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria continua tale che: P (X ∈ (0, 1)) = 0.3, P (X ∈ (2, 4)) = 0.4 V F z P (X ∈ [1, 2]) ≥ 0.4. V F z P (X ∈ (0, 1) ∪ [2, 4]c) < 0.6 V Fz P (X ≥ 0) > 0.3. V Fz P (X ∈ (1, 2)) ≤ 0.3. Domanda 4. Data una successione {Xn}n≥1 di varia- bili aleatorie i.i.d. con media µ e varianza σ2 > 0. Sia ¯Xn = X1+···+Xn n . Vale sempre che: V Fz Posso approssimare, per n grande, P ( ¯Xn ≤ x) con Φ(p n σ2 (x − µ)), per ogni x ∈ R. V F z ¯Xn ∼ N (µ, σ2 n ) per qualsiasi n ≥ 1. V F z P (| ¯Xn − µ| > ε) ≤ σ2 ε2n2 , per ogni ε > 0. Domanda 5. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale…