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Probabilit` a e Statistica — 19.04.2023 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Gli studenti multichance sono tenuti a rispondere solamente alle prime 7 domande . Domanda 1. Siano A e B due eventi tale che P(A) = 1/2, P(B) = 1 /3 e P(A|B) = 1 /6. Quali delle seguen- ti sono necessariamente vere (per ogni scelta di A e B soddisfacenti le condizioni date)? V Fz P(A ∩ B) = 1 3 V Fz P(B|A) = 1 9 V Fz P(A ∩ Bc) = 5 9 V Fz P(A \ B) = 4 9 Domanda 2. Sia X1, . . . , Xn un n campione della den- sit` a di Bernoulli Ber(θ) e X n = (X1+· · ·+Xn)/n la media campionaria. V Fz X n ` e uno stimatore non distorto diθ V FzL’errore quadratico medio di X n ` eθ2/n V Fz L’errore quadratico medio di X n ` eθ(1 − θ)/n Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria continua con densit` a: f(x) =  a(1 − x) se 0 < x < 1 0 altrimenti V Fz a = 2 V FzE(X) = 0 e Var(X) = 1/5 V Fz La mediana di X ` e uguale a (2− √ 2)/2 Domanda 4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con massa (o densit` a) congiunta: X = −1 X = 0 X = 1 Y = 0 a 0 3a Y = 1 2a a 0 Y = 2 a a a V Fz a = 1 10 V Fz X e Y sono indipendenti. V FzE(X) = 2 5 V Fz X2 prende i suoi valori in {0, 1} e P(X2 = 1) = 4 5 Domanda 5. Sia X una variabile aleatoria normale di media µ = 1 e varianza σ2 = 4. V Fz P(1 ≤ X ≤ 4) ≈ 0.61 V Fz P(X ≤ −a) = 0.975 ⇒ a ≈ −4.92. V Fz Y = −X + 2 ∼ N (µ = 1, σ 2 = 4). Domanda 6. Siano X e Y due variabili aleatorie tale che: E( XY ) = E(X) = −1, E(Y ) = 2, Var(X) = 1, Var(Y ) = 3. V FzVar(X + Y ) = 5. V Fz Cov(2X − Y, X + Y ) = 0. V Fz X e Y sono indipendenti. Domanda 7. Consideriamo un campione X1, . . . , Xn di una…